Chaleur à partir d'une gaussienne — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Chaleur à partir d'une gaussienne

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

On considère l'équation de la chaleur $\frac{\partial u}{\partial t} - κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = 0$ sur $R$ , avec la condition initiale $u (x, 0) = e^{- x^{2}}$ .

Calculer $u^(ν, t)$ .
En déduire $u (x, t)$ explicitement et vérifier que c'est une solution.
Calculer $\int_{R} u (x, t) d x$ et $max_{x} u (x, t)$ . Interpréter.

Corrigé

D'après le tableau ( $a = 1$ ), $g^(ν) = π e^{- π^{2} ν^{2}}$ , et $u^(ν, t) = g^(ν) e^{- 4 π^{2} κ ν^{2} t} = π e^{- π^{2} ν^{2} (1 + 4 κ t)}$ .
Avec $b = \frac{1}{1 + 4 κ t}$ : $\frac{π}{b} e^{- π^{2} ν^{2} / b}$ est la transformée de $e^{- b x^{2}}$ , donc $u^= b \cdot \frac{π}{b} e^{- π^{2} ν^{2} / b}$ et

$u (x, t) = \frac{1}{1 + 4 κ t} exp (- \frac{x ^{2}}{1 + 4 κ t}) .$

Vérification : en posant $s = 1 + 4 κ t$ , $\frac{\partial u}{\partial t} = 4 κ \frac{\partial u}{\partial s} = 4 κ (- \frac{1}{2 s} + \frac{x ^{2}}{s ^{2}}) u$ et $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = (- \frac{2}{s} + \frac{4 x ^{2}}{s ^{2}}) u$ , d'où $\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ ; et $u (x, 0) = e^{- x^{2}}$ .

$\int_{R} u (x, t) d x = u^(0, t) = π = \int g$ : la quantité de chaleur se conserve. $max_{x} u (x, t) = u (0, t) = \frac{1}{1 + 4 κ t}$ , qui décroît vers $0$ comme $t^{- 1/2}$ : le profil s'aplatit et s'étale.