Transformée de Fourier

Joseph Fourier, préfet de l'Isère et physicien, présente en 1807 un mémoire sur la propagation de la chaleur dans lequel il affirme que toute fonction, même discontinue, se décompose en une somme de sinusoïdes. Lagrange et Laplace, rapporteurs, sont sceptiques ; le mémoire n'est publié, remanié, qu'en 1822 sous le titre Théorie analytique de la chaleur. Il y passe du cas périodique au cas d'une barre infinie et écrit pour la première fois ce que nous appelons la transformée de Fourier. Il faudra un siècle, et l'intégrale de Lebesgue, pour donner un cadre rigoureux à ses formules : Michel Plancherel établit en 1910 la conservation de l'énergie qui porte son nom. L'algorithme de transformée de Fourier rapide de Cooley et Tukey (1965) a fait de la transformée de Fourier l'un des calculs les plus effectués au monde.

Soit $f\in L^1(\mathbb{R})$. Sa transformée de Fourier est la fonction $\hat{f}=\mathcal{F}f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\hat{f}(\nu )=\mathcal{F}f(\nu )={\int }_{\mathbb{R}}f(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }\mathrm{d}x,\nu \in \mathbb{R}.$$

La variable $x$ est la variable de temps ou d'espace ; la variable $\nu$ est la fréquence (en hertz si $x$ est un temps en secondes, en m${}^{-1}$ si $x$ est une longueur en mètres). La fonction $\hat{f}$ s'appelle aussi le spectre de $f$, et ${\left|\hat{f}\right|}^2$ sa densité spectrale d'énergie.

1. Pour tout $\nu$, $\left|\hat{f}(\nu )\right|\le \int \left|f(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }\right|\mathrm{d}x={\Vert f\Vert }_1$.

2. On applique le théorème de continuité sous le signe intégral (théorème 1.27) à $(\nu ,x)\mapsto f(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }$ : pour tout $x$, cette fonction est continue en $\nu$, et elle est dominée par $\left|f(x)\right|$, intégrable et indépendante de $\nu$.

3. Pour $f=1_{[a,b]}$, le calcul de l'exemple 5.1 donne $\hat{f}(\nu )=\frac{{\mathrm{e}}^{-2i\pi a\nu }-{\mathrm{e}}^{-2i\pi b\nu }}{2i\pi \nu }$, de module au plus $\frac{1}{\pi \left|\nu \right|}$ : la propriété est vraie, et elle reste vraie par linéarité pour toute fonction en escalier. On admet que les fonctions en escalier sont denses dans $L^1(\mathbb{R})$ (chapitre 2) : pour $\epsilon >0$, il existe $g$ en escalier telle que ${\Vert f-g\Vert }_1\le \epsilon$. Alors $\left|\hat{f}(\nu )\right|\le \left|\hat{f}(\nu )-\hat{g}(\nu )\right|+\left|\hat{g}(\nu )\right|\le \epsilon +\left|\hat{g}(\nu )\right|$ par le point 1, et $\left|\hat{g}(\nu )\right|\le \epsilon$ pour $\left|\nu \right|$ assez grand.

Le théorème 5.2 dit que $\hat{f}$ est continue, bornée, et tend vers $0$ à l'infini ; il ne dit pas que $\hat{f}$ est intégrable. Le sinus cardinal en est le contre-exemple : ${\int }_{\mathbb{R}}\left|\mathrm{sinc}\right|=+\infty$ (chapitre 1, où l'on montre que $\frac{\sin x}{x}$ n'est pas intégrable sur $[0,+\infty [$). La décroissance de $\hat{f}$ à l'infini reflète la régularité de $f$ : un saut donne une décroissance en $1/\left|\nu \right|$, une fonction continue à dérivée intégrable une décroissance plus rapide (proposition 5.5).

Ce sont des changements de variable (théorème 1.38). Pour la translation, $u=x-a$ : $\int f(x-a){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }\mathrm{d}x=\int f(u){\mathrm{e}}^{-2i\pi (u+a)\nu }\mathrm{d}u={\mathrm{e}}^{-2i\pi a\nu }\hat{f}(\nu )$. La modulation est immédiate : ${\mathrm{e}}^{2i\pi bx}{\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }={\mathrm{e}}^{-2i\pi x(\nu -b)}$. Pour la dilatation, $u=cx$, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u/\left|c\right|$ (la valeur absolue vient de l'inversion des bornes quand $c<0$) : $\int f(cx){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }\mathrm{d}x=\frac{1}{|c|}\int f(u){\mathrm{e}}^{-2i\pi u\nu /c}\mathrm{d}u$. Enfin $\overline{\int f(x){\mathrm{e}}^{2i\pi x\nu }\mathrm{d}x}=\int \overline{f(x)}{\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }\mathrm{d}x$, et le dernier point est la dilatation avec $c=-1$.

Comme $f^{\prime }$ est intégrable, $f(x)=f(0)+{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$ admet une limite quand $x\to +\infty$ (convergence dominée, ou critère de convergence absolue) ; cette limite est nulle, sinon $\left|f\right|$ serait minorée par une constante non nulle au voisinage de $+\infty$ et $f$ ne serait pas intégrable. De même en $-\infty$. Une intégration par parties sur $[-R,R]$ donne

$${\int }_{-R}^R{f}^{\prime }(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }\mathrm{d}x=[f(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }{]}_{-R}^R+2i\pi \nu {\int }_{-R}^{R}f(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }\mathrm{d}x.$$

Le crochet tend vers $0$, et les deux intégrales tendent vers $\widehat{f^{\prime }}(\nu )$ et $\hat{f}(\nu )$ par convergence dominée (dominantes $\left|f^{\prime }\right|$ et $\left|f\right|$). La majoration vient du théorème 5.2 appliqué à $f^{\prime }$, et $2\pi \nu \hat{f}(\nu )=-i\widehat{f^{\prime }}(\nu )\to 0$ par Riemann–Lebesgue.

C'est le théorème de dérivation sous le signe intégral (théorème 1.28) appliqué à $h(\nu ,x)=f(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }$ : pour tout $\nu$, $h(\nu ,\cdot )$ est intégrable ; pour tout $x$, $h$ est dérivable en $\nu$, de dérivée $-2i\pi xf(x){\mathrm{e}}^{-2i\pi x\nu }$, dominée par $2\pi \left|xf(x)\right|$, intégrable et indépendante de $\nu$. La continuité de la dérivée est le théorème 5.2 appliqué à $-2i\pi xf$.

Régularité et décroissance s'échangent par la transformée de Fourier :

• si $f$ est régulière (dérivées intégrables), $\hat{f}$ décroît vite à l'infini ;
• si $f$ décroît vite ($x^{k}f$ intégrable), $\hat{f}$ est régulière ($C^k$).