Distributions

Cours · analyse fonctionnelle (école d'ingénieur), chapitre 6 · école d'ingénieur, mathématiques · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Un marteau frappe une poutre ; un interrupteur ferme un circuit ; une charge concentrée repose en un point d'un plancher ; une source de chaleur ponctuelle est allumée au centre d'une plaque. Dans les quatre cas, l'ingénieur écrit naturellement une « fonction » nulle partout sauf en un point, et dont l'intégrale vaut pourtant l'intensité du choc, de la charge ou de la source. Une telle fonction n'existe pas : une fonction nulle presque partout a une intégrale nulle. Il dérive aussi des fonctions discontinues : la tension $H (t)$ appliquée à l'instant $0$ a pour dérivée « l'impulsion unité ». Les calculs menés ainsi, à la manière des physiciens, donnent des résultats justes ; encore faut-il savoir pourquoi, et quand ils cessent de l'être.

La théorie des distributions donne un cadre précis à ces objets. L'idée est simple : on renonce à connaître une « fonction » point par point, et on ne la connaît plus que par ses moyennes pondérées $\int f φ$ , où les poids $φ$ sont des fonctions très régulières, nulles hors d'un intervalle borné. L'impulsion de Dirac devient l'application qui à $φ$ associe $φ (0)$ ; toute distribution devient dérivable, indéfiniment ; les limites de fonctions qui se concentrent ont un sens ; la transformée de Fourier s'étend aux constantes, aux sinusoïdes et à l'impulsion. Le prix à payer est de raisonner sur des formes linéaires plutôt que sur des valeurs.

Repère historique

Oliver Heaviside, ingénieur télégraphiste, développe dans les années 1890 un « calcul opérationnel » où il dérive sa fonction échelon et manipule l'impulsion sans scrupule ; les mathématiciens de son temps le rejettent. Paul Dirac introduit en 1927, pour la mécanique quantique, la « fonction » $δ (x)$ , nulle sauf en $0$ et d'intégrale $1$ , en reconnaissant qu'elle n'est pas une fonction ordinaire. Sergueï Sobolev définit en 1936 les solutions faibles des équations aux dérivées partielles. Laurent Schwartz unifie ces idées dans sa Théorie des distributions (1950-1951), qui lui vaut la médaille Fields en 1950 ; il y définit en particulier la transformée de Fourier des distributions tempérées.

6.1 Fonctions test

6.1.1 Support et fonctions à support compact

Toutes les fonctions de ce chapitre sont définies sur $R$ , à valeurs réelles ou complexes.

Définition — Support, fonctions test

Le support d'une fonction continue $φ$ est l'adhérence de l'ensemble des points où elle ne s'annule pas : $supp φ = {x \in R : φ (x) \neq = 0}$ .
$φ$ est à support compact si son support est borné, c'est-à-dire s'il existe $A > 0$ tel que $φ (x) = 0$ pour $∣ x ∣ > A$ .
On note $D (R)$ l'espace des fonctions de classe $C^{\infty}$ sur $R$ à support compact. Ses éléments s'appellent les fonctions test.

L'adhérence est indispensable : la fonction $x \mapsto sin x 1_{[0, π]} (x)$ s'annule en $0$ et en $π$ , et son support est $[0, π]$ , pas $] 0, π [$ . Le support est le plus petit fermé hors duquel la fonction est nulle.

Il n'est pas évident qu'une fonction test non nulle existe : une fonction analytique (somme de sa série de Taylor) nulle sur un intervalle est nulle partout, et les fonctions usuelles le sont. L'exemple fondamental est le suivant.

Proposition 6.1Une fonction plateau

La fonction

$θ (x) = ⎩ ⎨ ⎧ exp (- \frac{1}{1 - x ^{2}}) 0 si ∣ x ∣ < 1, si ∣ x ∣ \geq 1$

est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ , strictement positive sur $] - 1, 1 [$ , de support $[- 1, 1]$ : c'est une fonction test.

Démonstration

Posons $g (t) = e^{- 1/ t}$ pour $t > 0$ et $g (t) = 0$ pour $t \leq 0$ . Pour $t > 0$ , une récurrence montre que $g^{(k)} (t) = P_{k} (1/ t) e^{- 1/ t}$ où $P_{k}$ est un polynôme ; comme $u^{m} e^{- u} \to 0$ quand $u \to + \infty$ , toutes les dérivées tendent vers $0$ quand $t \to 0^{+}$ , et l'on montre, de proche en proche, que $g$ est $C^{\infty}$ sur $R$ avec $g^{(k)} (0) = 0$ . Alors $θ (x) = g (1 - x^{2})$ est $C^{\infty}$ comme composée, et $θ (x) > 0$ si et seulement si $1 - x^{2} > 0$ .

Par translation et dilatation, $x \mapsto θ (\frac{x - a}{ε})$ est une fonction test de support $[a - ε, a + ε]$ . Les fonctions test sont donc nombreuses : on montre qu'elles permettent d'approcher toute fonction continue à support compact uniformément, et toute fonction de $L^{p}$ en norme $L^{p}$ ( $1 \leq p < + \infty$ ).

La figure montre la fonction plateau $θ$ : elle se raccorde à $0$ en $\pm 1$ avec toutes ses dérivées, si doucement que l'œil ne voit pas le raccord.

6.1.2 Convergence dans $D (R)$

Définition — Convergence dans $D (R)$

Une suite $(φ_{n})$ de fonctions test converge vers $0$ dans $D (R)$ si :

il existe un même segment $[- A, A]$ qui contient le support de tous les $φ_{n}$ ;
pour tout $k \in N$ , la suite des dérivées $φ_{n}^{(k)}$ converge uniformément vers $0$ sur $R$ .

On dit que $φ_{n} \to φ$ dans $D (R)$ si $φ_{n} - φ \to 0$ .

C'est une convergence très exigeante. Par exemple $φ_{n} (x) = \frac{1}{n} θ (x - n)$ tend uniformément vers $0$ avec toutes ses dérivées, mais ne converge pas dans $D (R)$ : son support s'échappe à l'infini. Plus la convergence des fonctions test est exigeante, moins l'exigence de continuité imposée aux distributions est forte : c'est ce qui permet d'y faire entrer des objets singuliers comme l'impulsion de Dirac.

6.2 Distributions

6.2.1 Définition

Définition — Distribution

Une distribution sur $R$ est une application $T : D (R) \to C$ , $φ \mapsto ⟨ T, φ ⟩$ , qui est :

linéaire : $⟨ T, α φ + β ψ ⟩ = α ⟨ T, φ ⟩ + β ⟨ T, ψ ⟩$ ;
continue : si $φ_{n} \to 0$ dans $D (R)$ , alors $⟨ T, φ_{n} ⟩ \to 0$ .

On note $D^{'} (R)$ l'espace vectoriel des distributions.

iRemarque

En pratique, on prouve la continuité par une majoration du type suivant : pour tout segment $[- A, A]$ , il existe $C > 0$ et $m \in N$ tels que

$∣ ⟨ T, φ ⟩ ∣ \leq C k = 0 \sum m R sup φ^{(k)} pour toute φ \in D (R) de support dans [- A, A] .$

Une telle majoration entraîne évidemment la continuité ; on admet que, réciproquement, toute distribution vérifie une majoration de ce type.

6.2.2 Distributions régulières

Définition — Fonction localement intégrable

Une fonction mesurable $f : R \to C$ est localement intégrable si elle est intégrable sur tout segment $[a, b]$ . On note $L_{loc}^{1} (R)$ l'ensemble de ces fonctions (identifiées si elles sont égales presque partout).

Toute fonction continue, toute fonction intégrable, toute fonction de $L^{p}$ , l'échelon $H$ , la fonction $x \mapsto ∣ x ∣^{- 1/2}$ sont localement intégrables. La fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ ne l'est pas (elle n'est pas intégrable au voisinage de $0$ ), ni $x \mapsto \frac{1}{∣ x ∣}$ .

Proposition 6.2Distribution associée à une fonction

Pour $f \in L_{loc}^{1} (R)$ , la formule

$⟨ T_{f}, φ ⟩ = \int_{R} f (x) φ (x) d x, φ \in D (R),$

définit une distribution $T_{f}$ , dite régulière. Si $f$ et $g$ sont localement intégrables et $T_{f} = T_{g}$ , alors $f = g$ presque partout (admis).

Démonstration

Si $φ$ est nulle hors de $[- A, A]$ , l'intégrande est majoré par $∣ f ∣ sup ∣ φ ∣$ , intégrable sur $[- A, A]$ : l'intégrale existe, et $∣ ⟨ T_{f}, φ ⟩ ∣ \leq (\int_{- A}^{A} ∣ f ∣) sup_{R} ∣ φ ∣$ . La linéarité est celle de l'intégrale, et la majoration donne la continuité (avec $m = 0$ ).

Grâce à l'injectivité, on identifie une fonction localement intégrable et la distribution qu'elle définit : on écrit souvent $f$ au lieu de $T_{f}$ , et l'on dit que les distributions généralisent les fonctions. Deux fonctions égales presque partout définissent la même distribution : la valeur de $H$ en $0$ , par exemple, n'a aucune importance.

6.2.3 L'impulsion de Dirac

Définition — Distribution de Dirac

Pour $a \in R$ , la distribution de Dirac en $a$ est

$⟨ δ_{a}, φ ⟩ = φ (a), φ \in D (R) .$

On note $δ = δ_{0}$ : $⟨ δ, φ ⟩ = φ (0)$ .

$δ_{a}$ est linéaire, et $∣ ⟨ δ_{a}, φ ⟩ ∣ \leq sup ∣ φ ∣$ : c'est une distribution. Elle modélise une charge, une masse ou une source d'intensité $1$ concentrée au point $a$ : « intégrer » une fonction contre $δ_{a}$ revient à l'évaluer en $a$ . Les physiciens écrivent $\int δ (x - a) φ (x) d x = φ (a)$ ; cette écriture est commode, mais ce n'est pas une intégrale.

Proposition 6.3

δ

n'est pas une fonction

Il n'existe aucune $f \in L_{loc}^{1} (R)$ telle que $δ = T_{f}$ . On dit que $δ$ est une distribution singulière.

Démonstration

Supposons $δ = T_{f}$ et posons $φ_{n} (x) = θ (n x)$ (fonction plateau dilatée, de support $[- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ , de valeur $θ (0) = e^{- 1}$ en $0$ ). Alors $e^{- 1} = φ_{n} (0) = ⟨ T_{f}, φ_{n} ⟩ = \int f φ_{n}$ . Mais $∣ f φ_{n} ∣ \leq e^{- 1} ∣ f ∣ 1_{[- 1, 1]}$ , intégrable, et $f φ_{n} \to 0$ presque partout (en tout $x \neq = 0$ , $φ_{n} (x) = 0$ dès que $n > 1/ ∣ x ∣$ ) : par convergence dominée (théorème 1.23), $\int f φ_{n} \to 0$ . On obtient $e^{- 1} = 0$ , contradiction.

6.2.4 La valeur principale de $1/ x$

La fonction $\frac{1}{x}$ n'est pas localement intégrable, mais sa singularité est « symétrique » : les contributions de part et d'autre de $0$ se compensent.

Proposition 6.4Valeur principale

Pour $φ \in D (R)$ , la limite

$⟨ vp \frac{1}{x}, φ ⟩ = ε \to 0^{+} lim \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x} d x$

existe, et définit une distribution, la valeur principale de $\frac{1}{x}$ . Si $φ$ est nulle hors de $[- A, A]$ , elle vaut $\int_{0}^{A} \frac{φ ( x ) - φ ( - x )}{x} d x$ .

Démonstration

Par symétrie, $\int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{φ ( x )}{x} d x = \int_{ε}^{A} \frac{φ ( x ) - φ ( - x )}{x} d x$ . Par l'inégalité des accroissements finis, $∣ φ (x) - φ (- x) ∣ \leq 2 x sup ∣ φ^{'} ∣$ : l'intégrande est borné sur $] 0, A]$ , donc intégrable, et l'intégrale converge quand $ε \to 0$ . On obtient de plus $⟨ vp \frac{1}{x}, φ ⟩ \leq 2 A sup ∣ φ^{'} ∣$ , majoration qui donne la continuité (avec $m = 1$ ).

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Distributions

Repère historique

6.1 Fonctions test

6.1.1 Support et fonctions à support compact

Définition — Support, fonctions test

Démonstration

6.1.2 Convergence dans D(R)

Définition — Convergence dans D(R)

6.2 Distributions

6.2.1 Définition

Définition — Distribution

6.2.2 Distributions régulières

Définition — Fonction localement intégrable

Démonstration

6.2.3 L'impulsion de Dirac

Définition — Distribution de Dirac

Démonstration

6.2.4 La valeur principale de 1/x

Démonstration

6.1.2 Convergence dans $D (R)$

Définition — Convergence dans $D (R)$

6.2.4 La valeur principale de $1/ x$