Dirichlet dans un demi-plan — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Dirichlet dans un demi-plan

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

On cherche $u$ bornée sur ${(x, y) : y \geq 0}$ , harmonique pour $y > 0$ , avec $u (x, 0) = g (x)$ , où $g \in L^{1} (R)$ est continue et bornée.

Montrer que $u^(ν, y) = g^(ν) e^{- 2 π ∣ ν ∣ y}$ .
Calculer la transformée de Fourier de $x \mapsto e^{- 2 π y ∣ x ∣}$ et en déduire que $e^{- 2 π ∣ ν ∣ y}$ est la transformée du noyau de Poisson $P_{y} (x) = \frac{1}{π} \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$ .
En déduire une formule intégrale pour $u$ ; l'expliciter pour $g = 1_{[- 1, 1]}$ (qui n'est pas continue, mais la formule a encore un sens).

Corrigé

On suppose $u (\cdot, y)$ intégrable pour chaque $y$ et les dérivations légitimes. La transformée en $x$ de l'équation est $- 4 π^{2} ν^{2} u^+ \frac{\partial ^{2} u ^}{\partial y ^{2}} = 0$ . À $ν \neq = 0$ fixé, les solutions sont $A (ν) e^{- 2 π ∣ ν ∣ y} + B (ν) e^{2 π ∣ ν ∣ y}$ ; comme $∣ u^(ν, y) ∣ \leq ∥ u (\cdot, y) ∥_{1}$ doit rester borné, $B (ν) = 0$ , et $y = 0$ donne $A = g^$ .
$h (x) = e^{- 2 π y ∣ x ∣}$ est l'exponentielle bilatérale avec $α = 2 π y$ : $h^(ν) = \frac{4 π y}{4 π ^{2} y ^{2} + 4 π ^{2} ν ^{2}} = \frac{1}{π} \frac{y}{y ^{2} + ν ^{2}} = P_{y} (ν)$ . $h$ est continue et $h^= P_{y}$ est intégrable ; d'après la remarque qui suit le corollaire 5.14 ( $h^^(x) = h (- x)$ ), $P_{y} (ν) = h (- ν) = e^{- 2 π y ∣ ν ∣}$ .
Par le théorème de convolution et l'injectivité, $u (\cdot, y) = P_{y} * g$ , soit

$u (x, y) = \frac{1}{π} \int_{R} \frac{y g ( t )}{( x - t ) ^{2} + y ^{2}} d t .$ Pour $g = 1_{[- 1, 1]}$ :

$u (x, y) = \frac{1}{π} \int_{- 1}^{1} \frac{y d t}{( x - t ) ^{2} + y ^{2}} = \frac{1}{π} (arctan \frac{x + 1}{y} - arctan \frac{x - 1}{y}) .$

C'est $\frac{1}{π}$ fois l'angle sous lequel on voit le segment $[- 1, 1]$ depuis le point $(x, y)$ ; il tend vers $1$ si $∣ x ∣ < 1$ , vers $0$ si $∣ x ∣ > 1$ , et vers $\frac{1}{2}$ aux extrémités, quand $y \to 0^{+}$ .