Égalité dans le principe d'incertitude

$f=\hat{f}={\mathrm{e}}^{-\pi x^2}$, donc $E=\int {\mathrm{e}}^{-2\pi x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\int x^2{\mathrm{e}}^{-2\pi x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{4\pi \sqrt{2}}$ ; d'où ${\sigma }_x^2=\frac{1}{4\pi }$, et de même ${\sigma }_{\nu }^2=\frac{1}{4\pi }$. Ainsi ${\sigma }_x{\sigma }_{\nu }=\frac{1}{4\pi }$ : la borne de Heisenberg est atteinte. Pour $f(x)={\mathrm{e}}^{-a{x}^2}$, la dilatation multiplie ${\sigma }_x$ par un facteur $c^{-1}$ et ${\sigma }_{\nu }$ par $c$ (avec $c=\sqrt{a/\pi }$) : le produit reste égal à $\frac{1}{4\pi }$, conformément au cas d'égalité du théorème 5.17.