Exponentielle bilatérale et lorentzienne

• $f$ est continue, positive, et ${\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-\alpha |x|}\mathrm{d}x=\frac{2}{\alpha }<+\infty$. $f$ est paire, donc

$$\hat{f}(\nu )=2{\int }_0^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-\alpha x}\cos (2\pi x\nu )\mathrm{d}x=2\mathrm{Re}\frac{1}{\alpha -2i\pi \nu }=\frac{2\alpha }{{\alpha }^2+4{\pi }^2{\nu }^2}.$$

• $0<\hat{f}(\nu )\le \frac{2\alpha }{4{\pi }^2{\nu }^2}$ pour $\nu \ne 0$ et $\hat{f}$ est continue : $\hat{f}$ est intégrable. $f$ est continue : la formule d'inversion (théorème 5.13) vaut en tout point, et en $x=0$ : $1=f(0)={\int }_{\mathbb{R}}\frac{2\alpha }{{\alpha }^2+4{\pi }^2{\nu }^2}\mathrm{d}\nu$.
• Avec $\alpha =1$ et $u=2\pi \nu$ : $1=\frac{2}{2\pi }\int \frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}$, donc ${\int }_{\mathbb{R}}\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=\pi$ (on retrouve $[\arctan u{]}_{-\infty }^{+\infty }$). Pour la transformée de $g$ : la formule d'inversion en $x$ quelconque donne

$${\mathrm{e}}^{-|x|}={\int }_{\mathbb{R}}\frac{2{\mathrm{e}}^{2i\pi x\nu }}{1+4{\pi }^2{\nu }^2}\mathrm{d}\nu =\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\frac{{\mathrm{e}}^{iux}}{1+u^2}\mathrm{d}u(u=2\pi \nu ).$$

Remplaçons $x$ par $-2\pi \xi$ :

$$\pi {\mathrm{e}}^{-2\pi |\xi |}={\int }_{\mathbb{R}}\frac{{\mathrm{e}}^{-2i\pi u\xi }}{1+u^2}\mathrm{d}u=\hat{g}(\xi ).$$

Donc $\hat{g}(\nu )=\pi {\mathrm{e}}^{-2\pi |\nu |}$ : c'est la dernière ligne du tableau avec $a=1$, multipliée par $\pi$.