Gaussienne multipliée par x — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Gaussienne multipliée par

x

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

Calculer la transformée de Fourier de $x \mapsto x e^{- π x^{2}}$ de deux façons : par la proposition sur la dérivée d'une transformée, puis par celle sur la transformée d'une dérivée.
En déduire celle de $x \mapsto x^{2} e^{- π x^{2}}$ .

Première méthode. $x e^{- π x^{2}}$ est intégrable : par la proposition 5.6, $F [- 2 iπ x e^{- π x^{2}}] = (e^{- π ν^{2}})^{'} = - 2 π ν e^{- π ν^{2}}$ , donc $F [x e^{- π x^{2}}] (ν) = \frac{- 2 π ν}{- 2 iπ} e^{- π ν^{2}} = - i ν e^{- π ν^{2}}$ . Seconde méthode. $x e^{- π x^{2}} = - \frac{1}{2 π} (e^{- π x^{2}})^{'}$ , et la proposition 5.5 donne $- \frac{1}{2 π} 2 iπ ν e^{- π ν^{2}} = - i ν e^{- π ν^{2}}$ . Les deux résultats coïncident.
On applique la proposition 5.6 à $h (x) = x e^{- π x^{2}}$ : $F [x^{2} e^{- π x^{2}}] = \frac{i}{2 π} (h^)^{'} = \frac{i}{2 π} (- i e^{- π ν^{2}} + 2 iπ ν^{2} e^{- π ν^{2}}) = (\frac{1}{2 π} - ν^{2}) e^{- π ν^{2}}$ . Contrôle : en $ν = 0$ , on obtient $\int x^{2} e^{- π x^{2}} d x = \frac{1}{2 π}$ .