Gaussiennes : dilatation et convolution — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Gaussiennes : dilatation et convolution

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $a > 0$ et $b > 0$ .

Retrouver la transformée de $e^{- a x^{2}}$ à partir de celle de $e^{- π x^{2}}$ .
À l'aide du théorème de convolution, calculer $e^{- a x^{2}} * e^{- b x^{2}}$ sans calculer d'intégrale.
Interpréter avec le noyau de la chaleur : montrer que $G_{t} * G_{s} = G_{t + s}$ .

$e^{- a x^{2}} = e^{- π (c x)^{2}}$ avec $c = a / π$ . Par dilatation, $F [e^{- a x^{2}}] (ν) = \frac{1}{c} e^{- π ν^{2} / c^{2}} = \frac{π}{a} e^{- π^{2} ν^{2} / a}$ .
Les deux gaussiennes sont intégrables. La transformée de la convolée est le produit $\frac{π}{ab} e^{- π^{2} ν^{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})} = \frac{π}{ab} e^{- π^{2} ν^{2} / c}$ avec $c = \frac{ab}{a + b}$ . Or $\frac{π}{c} e^{- π^{2} ν^{2} / c}$ est la transformée de $e^{- c x^{2}}$ ; donc, par injectivité (corollaire 5.14),

$e^{- a x^{2}} * e^{- b x^{2}} = \frac{π}{ab} \frac{c}{π} e^{- c x^{2}} = \frac{π}{a + b} e^{- \frac{ab}{a + b} x^{2}},$

les deux membres étant continus (l'égalité p.p. est donc une égalité partout).

$G^_{t} (ν) = e^{- 4 π^{2} κ ν^{2} t}$ , donc $G_{t} * G_{s} = e^{- 4 π^{2} κ ν^{2} (t + s)} = G^_{t + s}$ , et $G_{t} * G_{s} = G_{t + s}$ . Faire diffuser la chaleur pendant $t$ puis pendant $s$ revient à la faire diffuser pendant $t + s$ .