Le triangle sans calcul — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Le triangle sans calcul

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $Λ (x) = max (1 - ∣ x ∣, 0)$ .

Montrer que $Λ = Π * Π$ , où $Π = 1_{[- 1/2, 1/2]}$ .
En déduire $Λ^$ , puis vérifier le résultat par un calcul direct de l'intégrale.
À l'aide de la formule d'inversion, calculer $\int_{R} \frac{sin ^{2} ( π ν )}{π ^{2} ν ^{2}} d ν$ .

Corrigé

On a

$(Π * Π) (x) = \int_{R} 1_{[- 1/2, 1/2]} (t) 1_{[x - 1/2, x + 1/2]} (t) d t,$

qui est la longueur de l'intersection des deux intervalles de longueur $1$ centrés en $0$ et en $x$ : elle vaut $1 - ∣ x ∣$ si $∣ x ∣ \leq 1$ , $0$ sinon.

Par le théorème de convolution, $Λ^= Π^^{2} = sinc^{2}$ . Calcul direct : $Λ$ est paire, $Λ^(ν) = 2 \int_{0}^{1} (1 - x) cos (2 π xν) d x$ ; une intégration par parties donne, pour $ν \neq = 0$ , $2 \int_{0}^{1} \frac{s i n ( 2 π xν )}{2 π ν} d x = \frac{1 - c o s ( 2 π ν )}{2 π ^{2} ν ^{2}} = \frac{s i n ^{2} ( π ν )}{π ^{2} ν ^{2}}$ .
$Λ$ est continue et $Λ^= sinc^{2}$ est intégrable (bornée par $1$ et par $\frac{1}{π ^{2} ν ^{2}}$ ). La formule d'inversion en $0$ donne $\int_{R} sinc^{2} (ν) d ν = Λ (0) = 1$ . (On retrouve le résultat de Plancherel de l'exemple 5.16.)