Porte et intégrale de Dirichlet au carré — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Porte et intégrale de Dirichlet au carré

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $a > 0$ et $f = 1_{[- a, a]}$ .

Calculer $f^$ et vérifier $f^(0) = \int f$ .
À l'aide du théorème de Plancherel, calculer $\int_{R} \frac{sin ^{2} ( 2 π a ν )}{ν ^{2}} d ν$ , puis $\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ^{2} u}{u ^{2}} d u$ .

Corrigé

Pour $ν \neq = 0$ ,

$f^(ν) = \int_{- a}^{a} e^{- 2 iπ xν} d x = \frac{e ^{2 iπ a ν} - e ^{- 2 iπ a ν}}{2 iπ ν} = \frac{sin ( 2 π a ν )}{π ν},$

et $f^(0) = 2 a = \int f$ , qui est aussi la limite de $\frac{s i n ( 2 π a ν )}{π ν}$ quand $ν \to 0$ ( $f^$ est continue).

$f \in L^{1} \cap L^{2}$ , avec $\int ∣ f ∣^{2} = 2 a$ . Par Plancherel :

$\int_{R} \frac{sin ^{2} ( 2 π a ν )}{π ^{2} ν ^{2}} d ν = 2 a, donc \int_{R} \frac{sin ^{2} ( 2 π a ν )}{ν ^{2}} d ν = 2 π^{2} a .$

Avec $u = 2 π a ν$ , $d ν = \frac{d u}{2 π a}$ et $\frac{1}{ν ^{2}} = \frac{4 π ^{2} a ^{2}}{u ^{2}}$ : $2 π^{2} a = 2 π a \int_{R} \frac{s i n ^{2} u}{u ^{2}} d u$ , soit $\int_{R} \frac{s i n ^{2} u}{u ^{2}} d u = π$ et, par parité, $\int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ^{2} u}{u ^{2}} d u = \frac{π}{2}$ . (La fonction $\frac{s i n ^{2} u}{u ^{2}}$ , elle, est intégrable : elle est bornée par $1$ et par $\frac{1}{u ^{2}}$ .)