Riemann–Lebesgue en action — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Riemann–Lebesgue en action

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $f \in L^{1} (R)$ . Montrer que $n \to + \infty lim \int_{R} f (x) cos (n x) d x = 0$ .
Calculer $n \to + \infty lim \int_{0}^{+ \infty} \frac{sin ^{2} ( n x )}{1 + x ^{2}} d x$ (on pourra écrire $sin^{2} = \frac{1 - c o s 2 \cdot}{2}$ ).

$cos (n x) = \frac{1}{2} (e^{- 2 iπ x ν_{n}} + e^{2 iπ x ν_{n}})$ avec $ν_{n} = \frac{n}{2 π}$ : l'intégrale vaut $\frac{1}{2} (f^(ν_{n}) + f^(- ν_{n}))$ , qui tend vers $0$ par le théorème de Riemann–Lebesgue.
$\frac{s i n ^{2} ( n x )}{1 + x ^{2}} = \frac{1}{2 ( 1 + x ^{2} )} - \frac{c o s ( 2 n x )}{2 ( 1 + x ^{2} )}$ . La fonction $f (x) = \frac{1 _{[0, + \infty [} ( x )}{1 + x ^{2}}$ est intégrable ; par la question 1, $\int_{0}^{+ \infty} \frac{c o s ( 2 n x )}{1 + x ^{2}} d x \to 0$ . Donc la limite vaut $\frac{1}{2} \int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}$ . La suite $sin^{2} (n x)$ n'a pas de limite simple, mais elle se comporte, sous l'intégrale, comme sa moyenne $\frac{1}{2}$ .