Un saut et une transformée non intégrable — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Un saut et une transformée non intégrable

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

Soit $a > 0$ et $f (x) = e^{- a x} H (x)$ .

Calculer $f^$ . Calculer $f^$ et montrer que $f^$ n'est pas intégrable sur $R$ .
Pourquoi ce résultat était-il prévisible sans calcul ?
Calculer $R \to + \infty lim \int_{- R}^{R} f^(ν) d ν$ et comparer à $f (0^{+})$ et $f (0^{-})$ .

$f^(ν) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- (a + 2 iπ ν) x} d x = \frac{1}{a + 2 iπ ν}$ , et $f^(ν) = \frac{1}{a ^{2} + 4 π ^{2} ν ^{2}} \sim \frac{1}{2 π ∣ ν ∣}$ à l'infini : par comparaison avec $\frac{1}{∣ ν ∣}$ , $f^$ n'est pas intégrable.
Si $f^$ était intégrable, $f$ serait presque partout égale à une fonction continue (théorème 5.13) ; or $f$ a un saut en $0$ ( $f (0^{-}) = 0$ , $f (0^{+}) = 1$ ), qu'aucune modification sur un ensemble négligeable ne supprime.
$f^(ν) = \frac{a - 2 iπ ν}{a ^{2} + 4 π ^{2} ν ^{2}}$ ; la partie imaginaire est impaire, son intégrale sur $[- R, R]$ est nulle. Donc $\int_{- R}^{R} f^= \int_{- R}^{R} \frac{a d ν}{a ^{2} + 4 π ^{2} ν ^{2}} = \frac{1}{π} arctan \frac{2 π R}{a} \to \frac{1}{2}$ . C'est $\frac{f ( 0 ^{+} ) + f ( 0 ^{-} )}{2}$ , ni $f (0^{+})$ ni $f (0^{-})$ .