Une équation de convolution

Si $f\in L^1$ et $f\ast f={\mathrm{e}}^{-\pi x^2}$, alors ${\hat{f}}^2={\mathrm{e}}^{-\pi {\nu }^2}$. Avec $\hat{f}\ge 0$, il vient $\hat{f}(\nu )={\mathrm{e}}^{-\pi {\nu }^2/2}$. Par le tableau ($a=2\pi$ : $\mathcal{F}[{\mathrm{e}}^{-2\pi x^2}]=\frac{1}{\sqrt{2}}{\mathrm{e}}^{-\pi {\nu }^2/2}$), $\hat{f}$ est la transformée de $\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-2\pi x^2}$, et, par injectivité, $f(x)=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-2\pi x^2}$ presque partout. Réciproquement, cette fonction convient : $\widehat{f\ast f}={\hat{f}}^2={\mathrm{e}}^{-\pi {\nu }^2}$, et les deux membres sont continus. C'est l'unique solution (à un ensemble négligeable près).