analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Une intégrale rationnelle par Plancherel

Transformée de Fourier · niveau 2

Énoncé

À l'aide du théorème de Plancherel appliqué à $f (x) = e^{- ∣ x ∣}$ , calculer $\int_{R} \frac{d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}}$ .

Corrigé

$f (x) = e^{- ∣ x ∣}$ est dans $L^{1} \cap L^{2}$ , avec $\int ∣ f ∣^{2} = \int e^{- 2 ∣ x ∣} d x = 1$ , et $f^(ν) = \frac{2}{1 + 4 π ^{2} ν ^{2}}$ (exercice 5.1). Par Plancherel, $\int_{R} \frac{4}{( 1 + 4 π ^{2} ν ^{2} ) ^{2}} d ν = 1$ . Avec $u = 2 π ν$ : $\frac{4}{2 π} \int \frac{d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} = 1$ , donc

$\int_{R} \frac{d u}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} = \frac{π}{2} .$

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

11 autres exercices corrigés dans ce chapitre
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours et le premier QCM. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →