Dérivée d'une arche de sinusoïde tronquée

$f$ est $C^1$ par morceaux, avec deux points singuliers.

• Sur $]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[$, $f^{\prime }(x)=\pi \cos (\pi x)$ ; ailleurs $f^{\prime }=0$.
• En $-\frac{1}{2}$ : $f(-{\frac{1}{2}}^{-})=0$, $f(-{\frac{1}{2}}^{+})=\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$, saut $-1$.
• En $\frac{1}{2}$ : $f({\frac{1}{2}}^{-})=1$, $f({\frac{1}{2}}^{+})=0$, saut $-1$.

Donc $(T_f{)}^{\prime }=\pi \cos (\pi x)1_{]-1/2,1/2[}-{\delta }_{-1/2}-{\delta }_{1/2}$. Pour la dérivée seconde, on dérive chaque terme. La fonction $g=\pi \cos (\pi x)1_{]-1/2,1/2[}$ est continue (elle vaut $0$ en $\pm \frac{1}{2}$ des deux côtés), de dérivée $-{\pi }^2\sin (\pi x)$ sur $]-\frac{1}{2},\frac{1}{2}[$ : $g^{\prime }=-{\pi }^{2}f$. Donc

$$(T_f{)}^{\prime \prime }=-{\pi }^{2}f-{\delta }_{-1/2}^{\prime }-{\delta }_{1/2}^{\prime },$$

où ${\delta }_a^{\prime }$ est la dérivée de ${\delta }_a$ ($⟨{\delta }_a^{\prime },\phi ⟩=-{\phi }^{\prime }(a)$). On remarque que $f^{\prime \prime }+{\pi }^{2}f=-{\delta }_{-1/2}^{\prime }-{\delta }_{1/2}^{\prime }$ : l'équation $y^{\prime \prime }+{\pi }^{2}y=0$, vraie sur chaque morceau, est perturbée par les sauts.