L'équation xT=0 — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 6)

L'équation

x T = 0

Distributions · niveau 2

Énoncé

Soit $φ \in D (R)$ . Montrer qu'il existe $ψ \in C^{\infty} (R)$ telle que $φ (x) = φ (0) + x ψ (x)$ (on pourra écrire $φ (x) - φ (0) = \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} φ (t x) d t$ ).
Soit $χ \in D (R)$ égale à $1$ au voisinage de $0$ . Montrer que $φ = φ (0) χ + x ψ ~$ avec $ψ ~ \in D (R)$ .
En déduire que les solutions de $x T = 0$ dans $D^{'} (R)$ sont les $c δ$ , $c \in C$ .
Résoudre $x T = 1$ .

$φ (x) - φ (0) = \int_{0}^{1} x φ^{'} (t x) d t = x ψ (x)$ avec $ψ (x) = \int_{0}^{1} φ^{'} (t x) d t$ , qui est $C^{\infty}$ par dérivation sous le signe intégral (domination par les bornes des dérivées de $φ$ sur un segment).
$φ - φ (0) χ$ s'annule en $0$ : par la question 1 appliquée à cette fonction test, $φ - φ (0) χ = x ψ ~$ avec $ψ ~$ $C^{\infty}$ ; $ψ ~$ est nulle hors du support de $φ$ et de $χ$ (là où $x ψ ~ = 0$ avec $x \neq = 0$ ), donc à support compact.
Si $x T = 0$ : $⟨ T, φ ⟩ = φ (0) ⟨ T, χ ⟩ + ⟨ T, x ψ ~ ⟩ = φ (0) ⟨ T, χ ⟩ + ⟨ x T, ψ ~ ⟩ = c φ (0)$ avec $c = ⟨ T, χ ⟩$ . Donc $T = c δ$ . Réciproquement $x δ = 0$ .
$x vp \frac{1}{x} = 1$ (exercice 6.6) est une solution particulière ; la différence de deux solutions vérifie $x S = 0$ . Les solutions de $x T = 1$ sont donc les $vp \frac{1}{x} + c δ$ , $c \in C$ : diviser par $x$ n'est défini qu'à une impulsion en $0$ près.