Oscillateur et choc — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 6)

Oscillateur et choc

Distributions · niveau 2

Énoncé

Vérifier par la formule des sauts que $E (t) = H (t) \frac{s i n ( ω t )}{ω}$ vérifie $E^{''} + ω^{2} E = δ$ .
Déterminer toutes les solutions de $y^{''} + ω^{2} y = δ$ dans $D^{'} (R)$ , puis celle qui est nulle pour $t < 0$ .
Une masse $m = 2$ kg, suspendue à un ressort de raideur $k = 200$ N/m, au repos, reçoit à $t = 0$ une percussion de $I = 0, 4$ N.s. Donner son mouvement, son amplitude et sa période.

$E$ est continue en $0$ ( $sin 0 = 0$ ), de dérivée $H cos (ω t)$ hors de $0$ ; cette dérivée a un saut $1$ en $0$ et vaut $- ω sin (ω t)$ sur $] 0, + \infty [$ . Donc $E^{'} = H cos (ω t)$ et $E^{''} = - ω H sin (ω t) + δ = - ω^{2} E + δ$ .
Les solutions sont $E$ plus les solutions de l'équation homogène, qui sont classiques : $y = H (t) \frac{s i n ω t}{ω} + A cos ω t + B sin ω t$ . Elle est nulle pour $t < 0$ si et seulement si $A = B = 0$ .
$ω = k / m = 10$ rad/s. L'équation est $2 y^{''} + 200 y = 0, 4 δ$ , soit $y^{''} + 100 y = 0, 2 δ$ , et $y (t) = 0, 2 H (t) \frac{s i n ( 10 t )}{10} = 0, 02 H (t) sin (10 t)$ (en mètres). Amplitude $2$ cm, période $\frac{2 π}{10} \approx 0, 628$ s, vitesse initiale $y^{'} (0^{+}) = 0, 2$ m/s $= \frac{I}{m}$ .