Oscillations rapides — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 6)

Oscillations rapides

Distributions · niveau 2

Énoncé

Montrer que $T_{s i n (n x)} \to 0$ dans $D^{'} (R)$ .
Montrer que, pour tout $k \in N$ , $T_{n^{k} c o s (n x)} \to 0$ . Une oscillation rapide tend vers $0$ au sens des distributions, même amplifiée par une puissance de $n$ .
La suite $sin (n x)$ converge-t-elle simplement ? En moyenne ( $\int_{0}^{2 π} ∣ sin (n x) ∣ d x$ ) ?

Pour $φ$ test, une intégration par parties donne $\int sin (n x) φ (x) d x = \frac{1}{n} \int cos (n x) φ^{'} (x) d x$ , de module au plus $\frac{1}{n} \int ∣ φ^{'} ∣ \to 0$ . (C'est aussi le théorème de Riemann–Lebesgue.)
$k + 1$ intégrations par parties donnent $\int n^{k} cos (n x) φ (x) d x \leq \frac{n ^{k}}{n ^{k + 1}} \int φ^{(k + 1)} \to 0$ .
La suite $sin (n x)$ ne converge pas simplement hors des multiples de $π$ ; et $\int_{0}^{2 π} ∣ sin (n x) ∣ d x = 4$ pour tout $n$ : elle ne tend pas vers $0$ en moyenne. Elle tend pourtant vers $0$ au sens des distributions : les moyennes pondérées par une fonction régulière s'annulent par compensation des arches positives et négatives.