Parité — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 6)

Parité

Distributions · niveau 2

Énoncé

Montrer qu'une distribution $T$ est paire si et seulement si $⟨ T, φ ⟩ = 0$ pour toute fonction test impaire. Montrer que $δ$ est paire et $δ^{'}$ impaire.
Montrer que si $T$ est paire, $T^{'}$ est impaire.
Déterminer toutes les solutions de $T^{'} = δ$ , puis la seule qui soit impaire.

Toute fonction test s'écrit $φ = φ_{p} + φ_{i}$ (parties paire et impaire, qui sont des fonctions test). Si $T$ est paire, $⟨ T, φ_{i} ⟩ = ⟨ T ˇ, φ_{i} ⟩ = ⟨ T, φ_{i} (- \cdot)⟩ = - ⟨ T, φ_{i} ⟩$ , donc $⟨ T, φ_{i} ⟩ = 0$ . Réciproquement, si $T$ est nulle sur les fonctions impaires, $⟨ T ˇ, φ ⟩ = ⟨ T, φ_{p} - φ_{i} ⟩ = ⟨ T, φ_{p} ⟩ = ⟨ T, φ ⟩$ . $⟨ δ, φ_{i} ⟩ = φ_{i} (0) = 0$ : $δ$ est paire. $⟨ δ^{'}, φ_{p} ⟩ = - φ_{p}^{'} (0) = 0$ (la dérivée d'une fonction paire est impaire) : $δ^{'}$ est impaire, par le critère symétrique.
Si $φ$ est paire, $φ^{'}$ est impaire, donc $⟨ T^{'}, φ ⟩ = - ⟨ T, φ^{'} ⟩ = 0$ : $T^{'}$ est impaire.
$H^{'} = δ$ , donc les solutions sont $T = H + c$ , $c \in C$ (proposition 6.15). $H + c$ est impaire si et seulement si $c = - \frac{1}{2}$ (au sens des fonctions, presque partout : $H (- x) + c = - (H (x) + c)$ pour $x \neq = 0$ donne $c = - \frac{1}{2}$ ). La solution impaire est $H - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sgn$ .