Porte, dérivée, dipôle — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 6)

Porte, dérivée, dipôle

Distributions · niveau 2

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , soit $g_{n} = n 1_{[- \frac{1}{2 n}, \frac{1}{2 n}]}$ .

$g_{n} \geq 0$ , $\int g_{n} = 1$ , support $[- \frac{1}{2 n}, \frac{1}{2 n}]$ : le même raisonnement que dans l'exercice 6.1 donne $∣ ⟨ T_{g_{n}}, φ ⟩ - φ (0) ∣ \leq sup_{∣ x ∣ \leq 1/ (2 n)} ∣ φ (x) - φ (0) ∣ \to 0$ .
Par la formule des sauts (saut $+ n$ en $- \frac{1}{2 n}$ , $- n$ en $\frac{1}{2 n}$ , dérivée nulle ailleurs) : $(T_{g_{n}})^{'} = n (δ_{- 1/ (2 n)} - δ_{1/ (2 n)})$ . Pour $φ$ test, $⟨(T_{g_{n}})^{'}, φ ⟩ = n (φ (- \frac{1}{2 n}) - φ (\frac{1}{2 n})) \to - φ^{'} (0) = ⟨ δ^{'}, φ ⟩$ (taux d'accroissement). Sans calcul : la dérivation est continue (proposition 6.14), donc $(T_{g_{n}})^{'} \to δ^{'}$ .