Produits avec δ' — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 6)

Produits avec

δ^{'}

Distributions · niveau 2

Énoncé

Soit $ψ \in C^{\infty} (R)$ . Montrer que $ψ δ^{'} = ψ (0) δ^{'} - ψ^{'} (0) δ$ . En déduire $x δ^{'}$ et $x^{2} δ^{'}$ .
Montrer que $x \cdot vp \frac{1}{x} = 1$ .
Montrer que $\frac{1}{ε} (δ_{ε} - δ) \to - δ^{'}$ quand $ε \to 0$ (interprétation : dipôle).

$⟨ ψ δ^{'}, φ ⟩ = ⟨ δ^{'}, ψ φ ⟩ = - (ψ φ)^{'} (0) = - ψ^{'} (0) φ (0) - ψ (0) φ^{'} (0) = ⟨ - ψ^{'} (0) δ + ψ (0) δ^{'}, φ ⟩$ . Pour $ψ (x) = x$ : $x δ^{'} = - δ$ . Pour $ψ (x) = x^{2}$ ( $ψ (0) = ψ^{'} (0) = 0$ ) : $x^{2} δ^{'} = 0$ .
$⟨ x vp \frac{1}{x}, φ ⟩ = ⟨ vp \frac{1}{x}, x φ ⟩ = lim_{ε \to 0} \int_{∣ x ∣ \geq ε} \frac{x φ ( x )}{x} d x = \int_{R} φ = ⟨ 1, φ ⟩$ .
$⟨ \frac{1}{ε} (δ_{ε} - δ), φ ⟩ = \frac{φ ( ε ) - φ ( 0 )}{ε} \to φ^{'} (0) = ⟨ - δ^{'}, φ ⟩$ . Une charge $\frac{1}{ε}$ en $ε$ et une charge $- \frac{1}{ε}$ en $0$ forment un dipôle de moment $ε \cdot \frac{1}{ε} = 1$ ; à la limite, on obtient le dipôle ponctuel $- δ^{'}$ .