Rampe, valeur absolue et signe

• $r=xH$ est continue, de dérivée $H$ hors de $0$ : $r^{\prime }=H$, puis $r^{\prime \prime }=\delta$.
• ${\left|x\right|}^{\prime }=\mathrm{sgn}$, ${\left|x\right|}^{\prime \prime }=2\delta$ (exemple 6.10).
• $x\left|x\right|$ est $C^1$ : sa dérivée usuelle $2\left|x\right|$ est continue. Donc $(x\left|x\right|{)}^{\prime }=2\left|x\right|$ et $(x\left|x\right|{)}^{\prime \prime }=2\mathrm{sgn}$.

Seule $x\left|x\right|$ a une dérivée seconde qui est une fonction (localement intégrable) : $2\mathrm{sgn}$. Pour les deux autres, la dérivée seconde contient une impulsion, trace du point anguleux.