Solution élémentaire et second membre

• $E$ a un saut $\frac{1}{\tau }$ en $0$, et vaut $\frac{1}{\tau }{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ sur $]0,+\infty [$ : $E^{\prime }=-\frac{1}{\tau }E+\frac{1}{\tau }\delta$, donc $\tau E^{\prime }+E=\delta$.
• $y=E\ast 1_{[0,T]}$, soit $y(t)=\frac{1}{\tau }{\int }_0^T{1}_{\{s\le t\}}{\mathrm{e}}^{-(t-s)/\tau }\mathrm{d}s$ :

$$y(t)=0(t<0),y(t)=1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau }(0\le t\le T),y(t)=({\mathrm{e}}^{T/\tau }-1){\mathrm{e}}^{-t/\tau }(t\ge T).$$

La sortie monte exponentiellement vers $1$ pendant le créneau, puis redescend vers $0$ ; elle est continue (le filtre lisse les sauts de l'entrée).