Transformées de Fourier de distributions

D'après la proposition 6.16 :

• $\widehat{{\delta }_a}={\mathrm{e}}^{-2i\pi a\nu }$ ; $\widehat{{\delta }_a+{\delta }_{-a}}={\mathrm{e}}^{-2i\pi a\nu }+{\mathrm{e}}^{2i\pi a\nu }=2\cos (2\pi a\nu )$ ;
• $\widehat{{\delta }^{\prime }}=2i\pi \nu$ ;
• $\mathcal{F}[\cos (2\pi bx)]=\frac{1}{2}({\delta }_b+{\delta }_{-b})$ ;
• $\mathcal{F}[-2i\pi x\cdot 1]=(\hat{1}{)}^{\prime }={\delta }^{\prime }$, donc $\hat{x}=\frac{{\delta }^{\prime }}{-2i\pi }=\frac{i}{2\pi }{\delta }^{\prime }$ ;
• ${\cos }^2(2\pi bx)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (4\pi bx)$, donc $\mathcal{F}[{\cos }^2(2\pi bx)]=\frac{1}{2}\delta +\frac{1}{4}({\delta }_{2b}+{\delta }_{-2b})$.

Le spectre du polynôme $x$ est concentré en $0$, comme celui de toute fonction « sans oscillation ». Élever une sinusoïde au carré crée une composante continue (raie en $0$) et double sa fréquence : c'est le principe du redressement et des harmoniques créés par une non-linéarité.