Une tente qui tend vers Dirac — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 6)

Une tente qui tend vers Dirac

Distributions · niveau 2

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , soit $f_{n} (x) = n - n^{2} ∣ x ∣$ si $∣ x ∣ \leq \frac{1}{n}$ , et $f_{n} (x) = 0$ sinon. Tracer $f_{n}$ , calculer $\int f_{n}$ , et montrer que $T_{f_{n}} \to δ$ dans $D^{'} (R)$ , directement (sans le théorème sur les approximations de l'identité).

Corrigé

$f_{n}$ est une tente de hauteur $n$ et de base $[- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ ; elle est positive et $\int f_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n} \cdot n = 1$ . Soit $φ \in D (R)$ . Comme $\int f_{n} = 1$ ,

$∣ ⟨ T_{f_{n}}, φ ⟩ - φ (0) ∣ = \int_{- 1/ n}^{1/ n} f_{n} (x) (φ (x) - φ (0)) d x \leq ∣ x ∣ \leq 1/ n sup ∣ φ (x) - φ (0) ∣ \int f_{n} = ∣ x ∣ \leq 1/ n sup ∣ φ (x) - φ (0) ∣ .$

Par continuité de $φ$ en $0$ , le majorant tend vers $0$ . Donc $⟨ T_{f_{n}}, φ ⟩ \to φ (0) = ⟨ δ, φ ⟩$ pour toute $φ$ : $T_{f_{n}} \to δ$ . (On n'a utilisé que $f_{n} \geq 0$ , $\int f_{n} = 1$ et le support qui se resserre : c'est la structure d'une approximation de l'identité. Numériquement, pour une fonction test valant $0, 3332$ en $0$ , $⟨ T_{f_{n}}, φ ⟩$ vaut $0, 3328$ pour $n = 10$ et $0, 33324$ pour $n = 1000$ .)