Fonction génératrice de Legendre — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Fonction génératrice de Legendre

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

Soit $G (x, t) = (1 - 2 x t + t^{2})^{- 1/2}$ .

Développer $G$ en puissances de $t$ jusqu'à l'ordre $3$ et vérifier que les coefficients sont $P_{0}$ , $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ .
En faisant $x = 1$ , retrouver $P_{n} (1) = 1$ pour tout $n$ .
(Potentiel d'une charge) Une charge ponctuelle est placée en un point $A$ à la distance $a$ de l'origine $O$ . Pour un point $M$ à la distance $r > a$ de $O$ , avec $θ = A O M$ , montrer que $\frac{1}{A M} = \frac{1}{r} n \geq 0 \sum (\frac{a}{r})^{n} P_{n} (cos θ)$ .

Avec $(1 - u)^{- 1/2} = 1 + \frac{u}{2} + \frac{3}{8} u^{2} + \frac{5}{16} u^{3} + \dots$ et $u = 2 x t - t^{2}$ , on regroupe les puissances de $t$ : $G = 1 + x t + \frac{3 x ^{2} - 1}{2} t^{2} + \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2} t^{3} + O (t^{4})$ , soit $P_{0} + P_{1} t + P_{2} t^{2} + P_{3} t^{3} + O (t^{4})$ .
Pour $x = 1$ , $G (1, t) = (1 - t)^{- 1} = \sum t^{n}$ : en identifiant, $P_{n} (1) = 1$ .
Par la loi des cosinus, $A M^{2} = r^{2} - 2 a r cos θ + a^{2} = r^{2} (1 - 2 x t + t^{2})$ avec $x = cos θ$ et $t = a / r < 1$ . Donc $\frac{1}{A M} = \frac{1}{r} G (cos θ, a / r) = \frac{1}{r} \sum_{n} (\frac{a}{r})^{n} P_{n} (cos θ)$ . C'est le développement multipolaire : le terme $n = 0$ est le potentiel d'une charge placée en $O$ , les suivants corrigent en puissances de $a / r$ .