Intégrales par la fonction Bêta — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Intégrales par la fonction Bêta

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

Exprimer à l'aide de $B$ et $Γ$ , puis calculer :

$\int_{0}^{1} x^{4} (1 - x)^{3} d x$ ;
$\int_{0}^{1} x (1 - x) d x$ (interpréter géométriquement) ;
$\int_{0}^{π /2} sin^{6} θ d θ$ et $\int_{0}^{π /2} tan θ d θ$ ;
pour $a > 0$ , $b > 0$ : $\int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{a - 1}}{( 1 + t ) ^{a + b}} d t$ (poser $t = \frac{s}{1 - s}$ ).

Corrigé

$p = 5$ , $q = 4$ : $B (5, 4) = \frac{Γ ( 5 ) Γ ( 4 )}{Γ ( 9 )} = \frac{4 ! 3 !}{8 !} = \frac{144}{40320} = \frac{1}{280}$ .
$p = q = \frac{3}{2}$ : $B (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{Γ ( \frac{3}{2} ) ^{2}}{Γ ( 3 )} = \frac{π /4}{2} = \frac{π}{8}$ . Géométriquement, $y = x (1 - x)$ décrit le demi-cercle de centre $(\frac{1}{2}, 0)$ et de rayon $\frac{1}{2}$ : l'aire du demi-disque vaut $\frac{1}{2} π (\frac{1}{2})^{2} = \frac{π}{8}$ .
Par l'exemple 7.10 : $\int_{0}^{π /2} sin^{6} θ d θ = \frac{5 π}{32}$ ( $p = \frac{7}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ ). Ensuite $tan θ = sin^{1/2} θ cos^{- 1/2} θ$ : $2 p - 1 = \frac{1}{2}$ , $2 q - 1 = - \frac{1}{2}$ , soit $p = \frac{3}{4}$ , $q = \frac{1}{4}$ , et

$\int_{0}^{π /2} tan θ d θ = \frac{1}{2} \frac{Γ ( \frac{3}{4} ) Γ ( \frac{1}{4} )}{Γ ( 1 )} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{sin ( π /4 )} = \frac{π}{2} \approx 2, 221,$

par la formule des compléments en $z = \frac{1}{4}$ .

Avec $t = \frac{s}{1 - s}$ , $s \in] 0, 1 [$ : $1 + t = \frac{1}{1 - s}$ , $d t = \frac{d s}{( 1 - s ) ^{2}}$ , donc

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{a - 1}}{( 1 + t ) ^{a + b}} d t = \int_{0}^{1} s^{a - 1} (1 - s)^{1 - a} (1 - s)^{a + b} \frac{d s}{( 1 - s ) ^{2}} = \int_{0}^{1} s^{a - 1} (1 - s)^{b - 1} d s = B (a, b) .$