Module de Gamma sur l'axe imaginaire

• ${\left|\Gamma (iy)\right|}^2=\Gamma (iy)\overline{\Gamma (iy)}=\Gamma (iy)\Gamma (\overline{iy})=\Gamma (iy)\Gamma (-iy)$.
• L'équation fonctionnelle en $z=-iy$ donne $\Gamma (1-iy)=-iy\Gamma (-iy)$, soit $\Gamma (-iy)=\frac{\Gamma (1-iy)}{-iy}$. Donc, par la formule des compléments en $z=iy\notin \mathbb{Z}$,

$${\left|\Gamma (iy)\right|}^2=\frac{\Gamma (iy)\Gamma (1-iy)}{-iy}=\frac{1}{-iy}\cdot \frac{\pi }{\sin (i\pi y)}=\frac{\pi }{-iy\cdot i\mathrm{sh}(\pi y)}=\frac{\pi }{y\mathrm{sh}(\pi y)}.$$

Pour $y=1$ : ${\left|\Gamma (i)\right|}^2=\pi /\mathrm{sh}\pi \approx 0,2720$, valeur confirmée numériquement.