Ondes à symétrie radiale et équation de Bessel — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Ondes à symétrie radiale et équation de Bessel

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

Dans le plan, on cherche les solutions de l'équation des ondes $\frac{\partial ^{2} f}{\partial t ^{2}} = c^{2} Δ f$ de la forme $f = g (t) h (r)$ , où $r = x^{2} + y^{2}$ et $g$ est périodique non nulle.

Pour une fonction radiale, on admet que $Δ f = h^{''} (r) + \frac{1}{r} h^{'} (r)$ (multiplié par $g$ ). Montrer qu'il existe une constante $ω > 0$ telle que $g^{''} + ω^{2} g = 0$ et $h^{''} + \frac{1}{r} h^{'} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} h = 0$ .
Montrer que $H (x) = h (c x / ω)$ vérifie l'équation de Bessel d'ordre $0$ , et en déduire la forme générale de $h$ .
La membrane est un disque de rayon $a$ , fixé sur son bord, et la solution doit rester bornée au centre. Déterminer les pulsations possibles $ω_{k}$ . Pour $a = 0, 3$ m et $c = 100$ m/s, calculer les deux premières fréquences $f_{k} = ω_{k} / (2 π)$ .

Corrigé

En reportant $f = g (t) h (r)$ : $g^{''} h = c^{2} g (h^{''} + \frac{1}{r} h^{'})$ . Aux points où $g h \neq = 0$ , $\frac{g ^{''}}{g} = c^{2} \frac{h ^{''} + h ^{'} / r}{h}$ ; le membre de gauche ne dépend que de $t$ , celui de droite que de $r$ : ils sont égaux à une constante $K$ . Comme $g$ est périodique non nulle, $g^{''} = K g$ impose $K = - ω^{2} < 0$ (pour $K \geq 0$ , les solutions sont affines ou exponentielles, non périodiques sauf constantes ; on écarte le cas $g$ constant, qui donne une solution statique). D'où $g^{''} + ω^{2} g = 0$ et $h^{''} + \frac{1}{r} h^{'} + \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} h = 0$ .
Avec $r = c x / ω$ : $h^{'} (r) = \frac{ω}{c} H^{'} (x)$ , $h^{''} (r) = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} H^{''} (x)$ , et l'équation devient $\frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (H^{''} + \frac{1}{x} H^{'} + H) = 0$ , soit $x^{2} H^{''} + x H^{'} + x^{2} H = 0$ : Bessel d'ordre $0$ . Donc $h (r) = α J_{0} (\frac{ω r}{c}) + β Y_{0} (\frac{ω r}{c})$ .
$h$ bornée en $0$ impose $β = 0$ ( $Y_{0} \to - \infty$ ). La condition au bord $h (a) = 0$ impose $J_{0} (\frac{ω a}{c}) = 0$ , soit $\frac{ω a}{c} = j_{0, k}$ : $ω_{k} = \frac{c j _{0, k}}{a}$ . Pour $a = 0, 3$ m et $c = 100$ m/s : $f_{1} = \frac{100 \times 2 , 4048}{2 π \times 0 , 3} \approx 127, 6$ Hz et $f_{2} = \frac{100 \times 5 , 5201}{2 π \times 0 , 3} \approx 292, 8$ Hz (rapport $2, 295$ , non entier).