Pendule de longueur variable — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Pendule de longueur variable

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

Un pendule simple a un fil dont la longueur augmente à vitesse constante : $ℓ (t) = λ_{0} t$ ( $λ_{0} > 0$ ). Pour de petites oscillations, l'angle $θ (t)$ vérifie

$λ_{0} t θ ¨ + 2 λ_{0} θ ˙ + g θ = 0.$

On pose $u = 2 g t / λ_{0}$ . Montrer que $u θ^{''} (u) + 3 θ^{'} (u) + u θ (u) = 0$ .
Montrer que $y = u θ$ vérifie l'équation de Bessel d'ordre $1$ .
On suppose $θ$ borné quand $t \to 0^{+}$ , avec $lim_{t \to 0} θ (t) = θ_{0}$ . Montrer que $θ (t) = θ_{0} \frac{2 J _{1} ( u )}{u}$ , $u = 2 g t / λ_{0}$ . (On utilisera $J_{1} (u) \sim \frac{u}{2}$ et $Y_{1} (u) \sim - \frac{2}{π u}$ en $0$ .)

Corrigé

$u = 2 g / λ_{0} t^{1/2}$ , donc $\frac{d u}{d t} = g / λ_{0} t^{- 1/2} = \frac{2 g}{λ _{0} u}$ . Ainsi $θ ˙ = \frac{2 g}{λ _{0} u} θ^{'}$ et $θ ¨ = \frac{4 g ^{2}}{λ _{0}^{2} u ^{2}} θ^{''} - \frac{4 g ^{2}}{λ _{0}^{2} u ^{3}} θ^{'}$ . Avec $λ_{0} t = \frac{λ _{0}^{2} u ^{2}}{4 g}$ , l'équation devient

$g θ^{''} - \frac{g}{u} θ^{'} + \frac{4 g}{u} θ^{'} + g θ = 0, soit u θ^{''} + 3 θ^{'} + u θ = 0.$

Avec $θ = y / u$ : $θ^{'} = \frac{y ^{'}}{u} - \frac{y}{u ^{2}}$ , $θ^{''} = \frac{y ^{''}}{u} - \frac{2 y ^{'}}{u ^{2}} + \frac{2 y}{u ^{3}}$ . En reportant et en multipliant par $u$ : $u^{2} y^{''} - 2 u y^{'} + 2 y + 3 u y^{'} - 3 y + u^{2} y = 0$ , soit $u^{2} y^{''} + u y^{'} + (u^{2} - 1) y = 0$ : Bessel d'ordre $1$ .
Donc $u θ = A J_{1} (u) + B Y_{1} (u)$ et $θ = \frac{A J _{1} ( u ) + B Y _{1} ( u )}{u}$ . Quand $t \to 0$ , $u \to 0$ : $\frac{J _{1} ( u )}{u} \to \frac{1}{2}$ tandis que $\frac{Y _{1} ( u )}{u} \sim - \frac{2}{π u ^{2}} \to - \infty$ . Pour que $θ$ reste borné, $B = 0$ ; puis $θ \to \frac{A}{2} = θ_{0}$ , d'où $θ (t) = θ_{0} \frac{2 J _{1} ( u )}{u}$ . On vérifie aussi en reportant directement dans l'équation (vérification symbolique effectuée). La première annulation a lieu pour $u = j_{1, 1} \approx 3, 832$ : le pendule passe par la verticale pour la première fois à $t = \frac{λ _{0} j _{1, 1}^{2}}{4 g}$ .