Polynômes d'Hermite et oscillateur harmonique — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Polynômes d'Hermite et oscillateur harmonique

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

Calculer $H_{0}, \dots, H_{3}$ par la formule de Rodrigues et vérifier l'équation d'Hermite pour $n = 2$ et $n = 3$ .
Montrer que, si $H$ vérifie $H^{''} - 2 x H^{'} + 2 n H = 0$ , alors $ψ (x) = e^{- x^{2} /2} H (x)$ vérifie $ψ^{''} + (2 n + 1 - x^{2}) ψ = 0$ .
Calculer $\int_{- \infty}^{+ \infty} H_{1} (x)^{2} e^{- x^{2}} d x$ et $\int_{- \infty}^{+ \infty} H_{2} (x)^{2} e^{- x^{2}} d x$ , et comparer à $2^{n} n! π$ .

Les dérivées successives de $e^{- x^{2}}$ sont $e^{- x^{2}}$ fois $1$ , $- 2 x$ , $4 x^{2} - 2$ , $- 8 x^{3} + 12 x$ ; d'où $H_{0} = 1$ , $H_{1} = 2 x$ , $H_{2} = 4 x^{2} - 2$ , $H_{3} = 8 x^{3} - 12 x$ . Pour $n = 2$ : $8 - 2 x \cdot 8 x + 4 (4 x^{2} - 2) = 0$ . Pour $n = 3$ : $48 x - 2 x (24 x^{2} - 12) + 6 (8 x^{3} - 12 x) = 48 x - 48 x^{3} + 24 x + 48 x^{3} - 72 x = 0$ .
$ψ^{'} = e^{- x^{2} /2} (H^{'} - x H)$ et $ψ^{''} = e^{- x^{2} /2} (H^{''} - 2 x H^{'} + (x^{2} - 1) H)$ . Avec $H^{''} - 2 x H^{'} = - 2 n H$ : $ψ^{''} = e^{- x^{2} /2} (x^{2} - 1 - 2 n) H = (x^{2} - 2 n - 1) ψ$ , d'où $ψ^{''} + (2 n + 1 - x^{2}) ψ = 0$ .
On utilise $\int_{R} x^{2 k} e^{- x^{2}} d x = Γ (k + \frac{1}{2})$ : $π$ , $\frac{π}{2}$ , $\frac{3 π}{4}$ pour $k = 0, 1, 2$ . $\int 4 x^{2} e^{- x^{2}} = 4 \cdot \frac{π}{2} = 2 π = 2^{1} 1! π$ , et $\int (16 x^{4} - 16 x^{2} + 4) e^{- x^{2}} = 12 π - 8 π + 4 π = 8 π = 2^{2} 2! π$ .