Polynômes de Laguerre

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

Calculer $L_{0}$ , $L_{1}$ , $L_{2}$ par la formule de Rodrigues.
En utilisant $\int_{0}^{+ \infty} x^{k} e^{- x} d x = k!$ , vérifier que $\int_{0}^{+ \infty} L_{1} L_{2} e^{- x} d x = 0$ et $\int_{0}^{+ \infty} L_{2}^{2} e^{- x} d x = 1$ .

$L_{0} = 1$ ; $\frac{d}{d x} (x e^{- x}) = (1 - x) e^{- x}$ , donc $L_{1} = 1 - x$ ; $\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (x^{2} e^{- x}) = (x^{2} - 4 x + 2) e^{- x}$ , donc $L_{2} = \frac{x ^{2} - 4 x + 2}{2}$ .
Notons $m_{k} = \int_{0}^{+ \infty} x^{k} e^{- x} d x = k!$ . Le produit $L_{1} L_{2} = \frac{1}{2} (1 - x) (x^{2} - 4 x + 2) = \frac{1}{2} (- x^{3} + 5 x^{2} - 6 x + 2)$ donne $\frac{1}{2} (- 6 + 10 - 6 + 2) = 0$ . Ensuite $L_{2}^{2} = \frac{1}{4} (x^{4} - 8 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x + 4)$ donne $\frac{1}{4} (24 - 48 + 40 - 16 + 4) = 1$ .

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

Sans compte : le cours et le premier QCM. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.