Polynômes de Legendre

$(x^{2} - 1)^{2} = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ , dérivée seconde $12 x^{2} - 4$ , donc $P_{2} = \frac{12 x ^{2} - 4}{8} = \frac{3 x ^{2} - 1}{2}$ . De même $(x^{2} - 1)^{3} = x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2} - 1$ , dérivée troisième $120 x^{3} - 72 x$ , et $P_{3} = \frac{120 x ^{3} - 72 x}{48} = \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2}$ . Pour $P_{2}$ : $(1 - x^{2}) \cdot 3 - 2 x \cdot 3 x + 6 \cdot \frac{3 x ^{2} - 1}{2} = 3 - 3 x^{2} - 6 x^{2} + 9 x^{2} - 3 = 0$ . Pour $P_{3}$ : $P_{3}^{'} = \frac{15 x ^{2} - 3}{2}$ , $P_{3}^{''} = 15 x$ , et $(1 - x^{2}) 15 x - 2 x \frac{15 x ^{2} - 3}{2} + 12 \frac{5 x ^{3} - 3 x}{2} = 15 x - 15 x^{3} - 15 x^{3} + 3 x + 30 x^{3} - 18 x = 0$ .
$P_{2} P_{3}$ est impair : son intégrale sur $[- 1, 1]$ est nulle. Ensuite $\int_{- 1}^{1} \frac{( 3 x ^{2} - 1 ) ^{2}}{4} d x = \frac{1}{4} \int_{- 1}^{1} (9 x^{4} - 6 x^{2} + 1) d x = \frac{1}{4} (\frac{18}{5} - 4 + 2) = \frac{2}{5}$ .
$∣ x ∣$ est paire : $c_{n} = 0$ pour $n$ impair. Avec $c_{n} = \frac{2 n + 1}{2} \int_{- 1}^{1} ∣ x ∣ P_{n} d x = (2 n + 1) \int_{0}^{1} x P_{n} d x$ : $c_{0} = \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ ; $c_{2} = 5 \int_{0}^{1} x \frac{3 x ^{2} - 1}{2} d x = \frac{5}{2} (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{5}{8}$ ; $c_{4} = 9 \int_{0}^{1} x \frac{35 x ^{4} - 30 x ^{2} + 3}{8} d x = \frac{9}{8} (\frac{35}{6} - \frac{30}{4} + \frac{3}{2}) = - \frac{3}{16}$ . Le polynôme de degré $\leq 2$ le plus proche de $∣ x ∣$ en norme $∥ \cdot ∥_{2}$ est la projection orthogonale sur $Vect (P_{0}, P_{1}, P_{2})$ , c'est-à-dire $\frac{1}{2} P_{0} + \frac{5}{8} P_{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{8} \cdot \frac{3 x ^{2} - 1}{2} = \frac{15 x ^{2} + 3}{16}$ .

Énoncé

Corrigé