Polynômes et nœuds de Tchebychev — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Polynômes et nœuds de Tchebychev

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

Montrer que $T_{n} (cos θ) = cos (n θ)$ définit un polynôme $T_{n}$ de degré $n$ , de coefficient dominant $2^{n - 1}$ pour $n \geq 1$ , et que $∣ T_{n} (x) ∣ \leq 1$ sur $[- 1, 1]$ .
Déterminer les racines de $T_{n}$ dans $[- 1, 1]$ .
On interpole une fonction aux points $x_{1}, \dots, x_{n}$ de $[- 1, 1]$ ; l'erreur fait intervenir $ω (x) = \prod_{k = 1}^{n} (x - x_{k})$ . Montrer que, si les $x_{k}$ sont les racines de $T_{n}$ , alors $max_{[- 1, 1]} ∣ ω ∣ = 2^{1 - n}$ . Comparer, pour $n = 4$ , avec quatre points équidistants $- 1, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1$ (on donne $max_{[- 1, 1]} ∣ ω ∣ \approx 0, 1975$ dans ce cas).

$cos ((n + 1) θ) = 2 cos θ cos (n θ) - cos ((n - 1) θ)$ : avec $T_{0} = 1$ , $T_{1} = x$ , la récurrence $T_{n + 1} = 2 x T_{n} - T_{n - 1}$ définit des polynômes vérifiant $T_{n} (cos θ) = cos (n θ)$ , de degré $n$ et de coefficient dominant $2^{n - 1}$ (multiplié par $2$ à chaque pas à partir de $T_{1}$ ). Pour $x = cos θ \in [- 1, 1]$ , $∣ T_{n} (x) ∣ = ∣ cos (n θ) ∣ \leq 1$ .
$cos (n θ) = 0$ pour $θ = \frac{( 2 k - 1 ) π}{2 n}$ ; les $n$ valeurs $x_{k} = cos \frac{( 2 k - 1 ) π}{2 n}$ , $k = 1, \dots, n$ , sont distinctes dans $] - 1, 1 [$ : ce sont toutes les racines de $T_{n}$ .
$ω$ est unitaire de degré $n$ et a les mêmes racines que $T_{n}$ : $ω = 2^{1 - n} T_{n}$ , donc $max ∣ ω ∣ = 2^{1 - n} max ∣ T_{n} ∣ = 2^{1 - n}$ (atteint aux points $x = cos \frac{k π}{n}$ ). Pour $n = 4$ : $2^{- 3} = 0, 125$ , contre $0, 1975$ pour les points équidistants, soit une erreur d'interpolation potentiellement $1, 6$ fois plus grande avec ces derniers. L'écart croît très vite avec $n$ (phénomène de Runge).