Une relation de récurrence de Bessel

• $z^p{J}_p(z)={\sum }_n\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+2p}}{2^{2n+p}\Gamma (n+1)\Gamma (n+p+1)}$ : série entière en $z$ (à la puissance $z^{2p}$ près, qui se dérive normalement pour $z>0$), dérivable terme à terme. Le terme général dérivé est $\frac{(-1{)}^n(2n+2p)z^{2n+2p-1}}{2^{2n+p}\Gamma (n+1)\Gamma (n+p+1)}=z^p\frac{(-1{)}^n}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+p)}(\frac{z}{2}{)}^{2n+p-1}$, car $\frac{2n+2p}{\Gamma (n+p+1)}=\frac{2}{\Gamma (n+p)}$. En sommant : $z^p{J}_{p-1}(z)$.
• Pour $p=0$ : $J_0^{\prime }=J_{-1}=-J_1$ (proposition 7.14 avec $n=1$). Pour $p=1$ : $(z{J}_1{)}^{\prime }=z{J}_0$, et comme $z{J}_1(z)\to 0$ en $0$, ${\int }_0^{X}z{J}_0(z)\mathrm{d}z=X{J}_1(X)$.
• Pour $p=\frac{1}{2}$, $\Gamma (n+\frac{3}{2})=\frac{(2n+1)!}{4^{n}n!}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{2}$ (proposition 7.5) et $\Gamma (n+1)=n!$, donc $n!\Gamma (n+\frac{3}{2})=\frac{(2n+1)!\sqrt{\pi }}{2\cdot 4^n}$, et le terme général de la série vaut

$$\frac{(-1{)}^{n}2\cdot 4^n}{(2n+1)!\sqrt{\pi }}\cdot \frac{z^{2n+\frac{1}{2}}}{2^{2n+\frac{1}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+\frac{1}{2}}}{(2n+1)!}=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}.$$

En sommant, $J_{1/2}(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\sin z$. Ensuite

$$J_{3/2}=-z^{1/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[z^{-1/2}{J}_{1/2}\right]=-\sqrt{\frac{2}{\pi }}{z}^{1/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left[\frac{\sin z}{z}\right]=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}(\frac{\sin z}{z}-\cos z).$$