Valeurs de la fonction Gamma — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Valeurs de la fonction Gamma

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

À l'aide de la formule des compléments, retrouver $Γ (\frac{1}{2}) = π$ . En déduire la valeur de $\int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u$ .
Calculer $Γ (\frac{7}{2})$ et $Γ (- \frac{1}{2})$ .
L'intégrale $\int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{t t} d t$ représente-t-elle $Γ (- \frac{1}{2})$ ?
Calculer $\int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{- 2 x} d x$ et $\int_{0}^{+ \infty} x e^{- x} d x$ .

Pour $z = \frac{1}{2}$ , la formule des compléments donne $Γ (\frac{1}{2})^{2} = \frac{π}{s i n ( π /2 )} = π$ , et $Γ (\frac{1}{2}) > 0$ (intégrale d'une fonction positive), donc $Γ (\frac{1}{2}) = π$ . Le changement de variable $t = u^{2}$ donne $Γ (\frac{1}{2}) = 2 \int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u$ , d'où $\int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2}} d u = \frac{π}{2}$ .
$Γ (\frac{7}{2}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \frac{15}{8} π$ (on retrouve $\frac{6 !}{4 ^{3} 3 !} π = \frac{720}{384} π$ ). Par l'équation fonctionnelle lue à l'envers, $Γ (- \frac{1}{2}) = \frac{Γ ( \frac{1}{2} )}{- \frac{1}{2}} = - 2 π$ .
Non. Au voisinage de $0$ , $\frac{e ^{- t}}{t t} \sim t^{- 3/2}$ , non intégrable ( $- \frac{3}{2} \leq - 1$ ) : l'intégrale vaut $+ \infty$ . La valeur $Γ (- \frac{1}{2}) = - 2 π$ est celle du prolongement, qui n'est pas donnée par l'intégrale (warningbox de la section 7.2).
Avec $t = 2 x$ : $\int_{0}^{+ \infty} x^{4} e^{- 2 x} d x = \frac{1}{2 ^{5}} \int_{0}^{+ \infty} t^{4} e^{- t} d t = \frac{Γ ( 5 )}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$ . Ensuite $\int_{0}^{+ \infty} x^{1/2} e^{- x} d x = Γ (\frac{3}{2}) = \frac{π}{2} \approx 0, 886$ .