Volume de la boule unité de ℝⁿ — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 7)

Volume de la boule unité de

R^{n}

Fonctions spéciales · niveau 2

Énoncé

On note $V_{n}$ le volume (mesure de Lebesgue) de la boule unité de $R^{n}$ ; on admet que la boule de rayon $r$ a pour volume $V_{n} r^{n}$ .

Calculer $I_{n} = \int_{R^{n}} e^{- ∥ x ∥^{2}} d x$ à l'aide du théorème de Tonelli.
En écrivant $e^{- ∥ x ∥^{2}} = \int_{∥ x ∥}^{+ \infty} 2 r e^{- r^{2}} d r$ et en échangeant les intégrales, montrer que $I_{n} = V_{n} Γ (\frac{n}{2} + 1)$ .
En déduire $V_{n} = \frac{π ^{n /2}}{Γ ( \frac{n}{2} + 1 )}$ , et vérifier les valeurs $V_{1}$ , $V_{2}$ , $V_{3}$ .

La fonction est positive et $e^{- ∥ x ∥^{2}} = \prod_{i = 1}^{n} e^{- x_{i}^{2}}$ : par Tonelli, $I_{n} = \prod_{i = 1}^{n} \int_{R} e^{- x_{i}^{2}} d x_{i} = (π)^{n} = π^{n /2}$ .
Pour tout $x$ , $\int_{∥ x ∥}^{+ \infty} 2 r e^{- r^{2}} d r = e^{- ∥ x ∥^{2}}$ . Donc $I_{n} = \int_{R^{n}} \int_{0}^{+ \infty} 1_{{∥ x ∥ < r}} 2 r e^{- r^{2}} d r d x$ . La fonction est positive : Tonelli permet d'échanger, et $\int_{R^{n}} 1_{{∥ x ∥ < r}} d x = V_{n} r^{n}$ . Ainsi

$I_{n} = V_{n} \int_{0}^{+ \infty} 2 r^{n + 1} e^{- r^{2}} d r = V_{n} \int_{0}^{+ \infty} s^{n /2} e^{- s} d s = V_{n} Γ (\frac{n}{2} + 1),$

avec $s = r^{2}$ .

Donc $V_{n} = π^{n /2} /Γ (\frac{n}{2} + 1)$ . Pour $n = 1$ : $π /Γ (\frac{3}{2}) = 2$ (longueur de $[- 1, 1]$ ) ; $n = 2$ : $π /Γ (2) = π$ ; $n = 3$ : $π^{3/2} /Γ (\frac{5}{2}) = π^{3/2} / (\frac{3}{4} π) = \frac{4}{3} π$ .