Coefficients constants hyperboliques — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

Coefficients constants hyperboliques

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

Soient $a, b, c, d$ des réels non nuls avec $b^{2} - 4 a c > 0$ , et l'équation $a \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + b \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} + c \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} + d u = 0$ .

Montrer que l'équation $a λ^{2} - bλ + c = 0$ a deux racines réelles distinctes $λ_{1}$ , $λ_{2}$ .
On pose $ξ = y - λ_{1} x$ et $η = y - λ_{2} x$ . Montrer que l'équation devient $a (λ_{1} - λ_{2})^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial ξ \partial η} - d u = 0$ .
En déduire son type, et le confirmer par le discriminant.

Corrigé

Le discriminant de $a λ^{2} - bλ + c$ est $b^{2} - 4 a c > 0$ : deux racines réelles distinctes, avec $λ_{1} + λ_{2} = b / a$ et $λ_{1} λ_{2} = c / a$ .
Avec $ξ = y - λ_{1} x$ , $η = y - λ_{2} x$ : $\frac{\partial}{\partial x} = - λ_{1} \frac{\partial}{\partial ξ} - λ_{2} \frac{\partial}{\partial η}$ , $\frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial ξ} + \frac{\partial}{\partial η}$ . Le coefficient de $\frac{\partial ^{2} u}{\partial ξ ^{2}}$ est $a λ_{1}^{2} - b λ_{1} + c = 0$ , celui de $\frac{\partial ^{2} u}{\partial η ^{2}}$ est $a λ_{2}^{2} - b λ_{2} + c = 0$ , et celui de $\frac{\partial ^{2} u}{\partial ξ \partial η}$ vaut $2 a λ_{1} λ_{2} - b (λ_{1} + λ_{2}) + 2 c = 2 c - \frac{b ^{2}}{a} + 2 c = \frac{4 a c - b ^{2}}{a} = - a (λ_{1} - λ_{2})^{2}$ , puisque $(λ_{1} - λ_{2})^{2} = \frac{b ^{2} - 4 a c}{a ^{2}}$ . L'équation devient $- a (λ_{1} - λ_{2})^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial ξ \partial η} + d u = 0$ , soit $\frac{\partial ^{2} u}{\partial ξ \partial η} = \frac{d}{a ( λ _{1} - λ _{2} ) ^{2}} u$ .
Forme croisée : l'équation est hyperbolique. C'est cohérent avec $D = b^{2} - 4 a c > 0$ (proposition 8.17).