D'Alembert sur un exemple

Ici $c=2$. Par la formule de d'Alembert,

$$\begin{array}{rl}u(x,t)& =\frac{\sin (x+2t)+\sin (x-2t)}{2}+\frac{1}{4}{\int }_{x-2t}^{x+2t}\cos s\mathrm{d}s\\ & =\sin x\cos (2t)+\frac{\sin (x+2t)-\sin (x-2t)}{4}=\sin x\cos 2t+\frac{1}{2}\cos x\sin 2t.\end{array}$$

On vérifie $u(x,0)=\sin x$, $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\cos x$, et $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-4u=4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$. La solution est périodique en temps, de période $\pi$.