Énergie d'une corde — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

Énergie d'une corde

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

Soit $u$ une solution de classe $C^{2}$ de $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ sur $[0, L] \times [0, + \infty [$ , avec $u (0, t) = u (L, t) = 0$ . On pose

$E (t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} ((\frac{\partial u}{\partial t})^{2} + c^{2} (\frac{\partial u}{\partial x})^{2}) d x .$

Montrer que $E$ est constante (conservation de l'énergie).
En déduire l'unicité de la solution du problème avec conditions initiales $u (x, 0) = u_{0} (x)$ , $\frac{\partial u}{\partial t} (x, 0) = u_{1} (x)$ .

Corrigé

En dérivant sous l'intégrale (intervalle compact, dérivées continues) : $E^{'} (t) = \int_{0}^{L} (\frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} + c^{2} \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial t}) d x = \int_{0}^{L} c^{2} (\frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial t}) d x = c^{2} [\frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial x}]_{0}^{L}$ , car $\frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial u}{\partial x})$ . Or $u (0, t) = 0$ pour tout $t$ entraîne $\frac{\partial u}{\partial t} (0, t) = 0$ , et de même en $L$ : $E^{'} (t) = 0$ .
Pour la différence $w$ de deux solutions, $w (x, 0) = \frac{\partial w}{\partial t} (x, 0) = 0$ donne $E (0) = 0$ , donc $E (t) = 0$ pour tout $t$ : $\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x} = 0$ , $w$ est constante, et nulle au bord : $w \equiv 0$ .