Équation de transport — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

Équation de transport

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

Soit $c \in R$ et $u_{0} \in C^{1} (R)$ .

Montrer que $u$ est solution de $\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0$ si et seulement si $u$ est constante le long des droites $x - c t =$ cte (poser $ξ = x - c t$ , $τ = t$ ).
En déduire la solution de $\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = 0$ , $u (x, 0) = u_{0} (x)$ .
Montrer que $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = (\frac{\partial}{\partial t} - c \frac{\partial}{\partial x}) (\frac{\partial}{\partial t} + c \frac{\partial}{\partial x}) u$ et retrouver la forme $F (x + c t) + G (x - c t)$ .

Corrigé

Avec $u (x, t) = v (x - c t, t) = v (ξ, τ)$ : $\frac{\partial u}{\partial t} = - c \frac{\partial v}{\partial ξ} + \frac{\partial v}{\partial τ}$ et $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial ξ}$ , donc $\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial τ}$ . L'équation équivaut à $\frac{\partial v}{\partial τ} = 0$ : $v$ ne dépend que de $ξ$ , c'est-à-dire $u$ est constante sur chaque droite $x - c t =$ cte.
$u (x, t) = ϕ (x - c t)$ et $u (x, 0) = ϕ (x) = u_{0} (x)$ , donc $u (x, t) = u_{0} (x - c t)$ : le profil initial est translaté à la vitesse $c$ .
Pour $u$ de classe $C^{2}$ , les dérivées partielles commutent et $(\frac{\partial}{\partial t} - c \frac{\partial}{\partial x}) (\frac{\partial}{\partial t} + c \frac{\partial}{\partial x}) u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ . Si $\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ , la fonction $w = \frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x}$ vérifie $\frac{\partial w}{\partial t} - c \frac{\partial w}{\partial x} = 0$ , donc $w = ψ (x + c t)$ . On cherche une solution particulière de $\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = ψ (x + c t)$ sous la forme $F (x + c t)$ : $2 c F^{'} = ψ$ convient. La solution générale de l'équation homogène étant $G (x - c t)$ , on trouve $u = F (x + c t) + G (x - c t)$ .