Instabilité du problème de Cauchy pour Laplace — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

Instabilité du problème de Cauchy pour Laplace

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

Pour $n \geq 1$ , on pose $u_{n} (x, y) = \frac{cos ( n x ) ch ( n y )}{n ^{2}}$ .

Vérifier que $u_{n}$ est harmonique et calculer $u_{n} (x, 0)$ et $\frac{\partial u _{n}}{\partial y} (x, 0)$ .
Montrer que les données tendent uniformément vers $0$ sur $R$ , mais que $u_{n} (0, y) \to + \infty$ pour tout $y \neq = 0$ . Conclure.
Combien vaut $u_{n} (0, 1)$ pour $n = 15$ ? Commenter pour un calcul numérique.

$\frac{\partial ^{2} u _{n}}{\partial x ^{2}} = - cos (n x) ch (n y)$ et $\frac{\partial ^{2} u _{n}}{\partial y ^{2}} = cos (n x) ch (n y)$ : la somme est nulle. $u_{n} (x, 0) = \frac{cos ( n x )}{n ^{2}}$ et $\frac{\partial u _{n}}{\partial y} (x, 0) = \frac{cos ( n x ) sh ( 0 )}{n} = 0$ .
$sup_{x} ∣ u_{n} (x, 0) ∣ = \frac{1}{n ^{2}} \to 0$ et la donnée de Neumann est nulle : les données tendent uniformément vers les données nulles, dont la solution est $u = 0$ . Mais $u_{n} (0, y) = ch (n y) / n^{2} \geq e^{n ∣ y ∣} / (2 n^{2}) \to + \infty$ pour $y \neq = 0$ . Il n'y a pas de dépendance continue : le problème de Cauchy pour l'équation de Laplace n'est pas bien posé.
$u_{15} (0, 1) = ch (15) /225 \approx 7, 3 \cdot 1 0^{3}$ , pour une donnée d'amplitude $1/225 \approx 4, 4 \cdot 1 0^{- 3}$ . Un calcul numérique, qui introduit forcément des erreurs d'arrondi sur toutes les fréquences, amplifie les hautes fréquences de façon catastrophique : le résultat n'a aucun sens.