La chaleur rétrograde — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

La chaleur rétrograde

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

Sur $[0, π]$ , avec $u (0, t) = u (π, t) = 0$ , on considère l'équation $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ .

Vérifier que $u_{n} (x, t) = e^{- n^{2} t} sin (n x)$ est solution.
On connaît l'état à l'instant $T = 1$ à $1 0^{- 6}$ près (en norme du maximum), et on cherche l'état initial. Montrer que les états initiaux $0$ et $sin (n x)$ sont indiscernables dès que $n \geq 4$ . Le problème rétrograde est-il bien posé ?

$\frac{\partial u _{n}}{\partial t} = - n^{2} u_{n}$ et $\frac{\partial ^{2} u _{n}}{\partial x ^{2}} = - n^{2} u_{n}$ ; les conditions aux limites sont vérifiées car $sin (0) = sin (nπ) = 0$ .
Les états initiaux $0$ et $sin (n x)$ conduisent à l'instant $1$ aux états $0$ et $e^{- n^{2}} sin (n x)$ , qui diffèrent d'au plus $e^{- n^{2}}$ . Or $e^{- 9} \approx 1, 2 \cdot 1 0^{- 4} > 1 0^{- 6}$ et $e^{- 16} \approx 1, 1 \cdot 1 0^{- 7} < 1 0^{- 6}$ : dès $n = 4$ , les deux états finaux sont indiscernables, alors que les états initiaux diffèrent de $1$ . L'application « état final $\mapsto$ état initial » n'est pas continue : le problème rétrograde est mal posé.