Laplacien et rotation — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

Laplacien et rotation

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

À l'aide du théorème 8.20, montrer que l'équation de Laplace est inchangée par une rotation $ξ = x cos ϕ + y sin ϕ$ , $η = - x sin ϕ + y cos ϕ$ .
Déterminer les fonctions harmoniques dans $R^{2} ∖ {0}$ de la forme $u = r^{n} cos (n θ)$ ou $u = f (r)$ , à l'aide de la proposition 8.3.

La jacobienne est la matrice de rotation $J$ , orthogonale ; avec $A = I_{2}$ , $A^{'} = J J^{T} = I_{2}$ : $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = \frac{\partial ^{2} v}{\partial ξ ^{2}} + \frac{\partial ^{2} v}{\partial η ^{2}}$ .
En polaires, $Δ u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial r ^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r ^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial θ ^{2}}$ . Pour $u = r^{n} cos (n θ)$ : $n (n - 1) r^{n - 2} + n r^{n - 2} - n^{2} r^{n - 2} = 0$ (fois $cos n θ$ ) : $u$ est harmonique pour tout réel $n$ , en particulier pour $n \in Z$ ( $r^{- n} cos n θ$ est harmonique hors de l'origine). Pour $u = f (r)$ , l'exemple 8.4 donne $f = A ln r + B$ .