Ordre, linéarité, homogénéité — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

Ordre, linéarité, homogénéité

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

Pour chacune des équations suivantes, donner l'ordre, dire si elle est linéaire et, si oui, si elle est homogène.

$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ .
$\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - c^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + ω_{0}^{2} u = cos (ω t)$ (corde sur fondation élastique, excitée).
$\frac{\partial u}{\partial t} - (k (u) \frac{\partial u}{\partial x})_{x} = 0$ , avec $k (u) = 1 + u^{2}$ .
$ρS \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} + E I \frac{\partial ^{4} u}{\partial x ^{4}} = 0$ (vibrations d'une poutre).
$∣ \nabla u ∣^{2} = 1$ (équation eikonale).

Ordre $1$ , linéaire, homogène.
Ordre $2$ , linéaire, non homogène (second membre $cos ω t$ ).
En développant, $\frac{\partial u}{\partial t} - (1 + u^{2}) \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - 2 u (\frac{\partial u}{\partial x})^{2} = 0$ : ordre $2$ , non linéaire (le coefficient de $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ dépend de $u$ , et $u (\frac{\partial u}{\partial x})^{2}$ n'est pas affine).
Ordre $4$ (dérivée $\frac{\partial ^{4} u}{\partial x ^{4}}$ ), linéaire, homogène.
$(\frac{\partial u}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial u}{\partial y})^{2} = 1$ (en deux variables) : ordre $1$ , non linéaire.