Régions de type — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 8)

Régions de type

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

Déterminer, selon le point $(x, y)$ du plan, le type de l'équation

$x \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} - x y \frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} + y^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} - 3 \frac{\partial u}{\partial x} = 0,$

et représenter les régions obtenues.

Corrigé

Ici $α = x$ , $β = - x y$ , $γ = y^{2}$ , donc

$D = β^{2} - 4 α γ = x^{2} y^{2} - 4 x y^{2} = x y^{2} (x - 4) .$

Le signe de $D$ est celui de $x (x - 4)$ dès que $y \neq = 0$ .

Hyperbolique ( $D > 0$ ) : $y \neq = 0$ et ( $x < 0$ ou $x > 4$ ).
Elliptique ( $D < 0$ ) : $y \neq = 0$ et $0 < x < 4$ .
$D = 0$ sur les droites $y = 0$ , $x = 0$ et $x = 4$ . Sur $y = 0$ (avec $x \neq = 0$ ), $A = (x 0 00) \neq = 0$ : parabolique. Sur $x = 4$ , $A = (4 - 2 y - 2 y y^{2}) \neq = 0$ : parabolique. Sur $x = 0$ (avec $y \neq = 0$ ), $A = (00 0 y^{2})$ : parabolique. À l'origine, $A = 0$ : l'équation dégénère en une équation d'ordre $1$ .

Le plan est donc découpé par les droites verticales $x = 0$ , $x = 4$ et l'axe $y = 0$ : une bande verticale elliptique $0 < x < 4$ (privée de l'axe), entourée de deux demi-plans hyperboliques.