analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) · Chapitre 8 · Exercice de TD

Un problème mal posé par excès de conditions

EDP : position du problème et classification · niveau 2

Énoncé

On cherche $u (x, y)$ harmonique dans le carré $] 0, π [^{2}$ , nulle sur les quatre côtés, et telle que $\frac{\partial u}{\partial y} (x, 0) = sin x$ .

Montrer, par l'exercice 8.6, qu'une telle $u$ serait identiquement nulle.
Conclure : le problème a-t-il une solution ? Quelle condition est de trop ?

Corrigé

$u$ est harmonique et nulle sur tout le bord : par l'exercice 8.6 (unicité pour le problème de Dirichlet), $u \equiv 0$ .
Alors $\frac{\partial u}{\partial y} (x, 0) = 0 \neq = sin x$ : le problème n'a pas de solution. La donnée de Dirichlet sur tout le bord détermine déjà entièrement la solution ; la condition de Neumann supplémentaire sur le côté $y = 0$ est de trop. C'est la situation « conditions trop nombreuses et incompatibles » de la section 8.3.

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