Unicité pour le problème de Dirichlet

Si $u_1$, $u_2$ sont deux solutions, $w=u_1-u_2$ vérifie $\Delta w=0$ dans $\Omega$ et $w=0$ sur $\partial \Omega$. La formule de Green (${\int }_{\Omega }w\Delta w={\int }_{\partial \Omega }w\frac{\partial w}{\partial n}-{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^2$) donne $0=0-{\int }_{\Omega }{\left|\nabla w\right|}^2$. Donc $\nabla w=0$ : $w$ est constante sur chaque composante connexe, et nulle au bord, donc nulle. Pour le problème de Neumann, $\frac{\partial w}{\partial n}=0$ sur le bord : on obtient encore $\nabla w=0$, mais rien ne force la constante à être nulle. La solution est unique à une constante près, conformément à l'exemple 8.7.