Barre entre deux températures — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 9)

Barre entre deux températures

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

Une barre de longueur $L$ , initialement à $20^{\circ}$ C, voit à l'instant $0$ son extrémité $x = L$ portée à $100^{\circ}$ C, l'autre restant à $20^{\circ}$ C.

Écrire le problème, et le relever par une fonction affine.
Le résoudre ; quelle est la température limite au milieu ?
Pour $L = 1$ et $κ = 1$ , donner une valeur approchée de la température au milieu à l'instant $t = 0, 1$ .

Corrigé

$\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ , $u (0, t) = 20$ , $u (L, t) = 100$ , $u (x, 0) = 20$ . Le relèvement $w (x) = 20 + 80 \frac{x}{L}$ vérifie l'équation et les conditions aux limites ; $v = u - w$ vérifie $\frac{\partial v}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} v}{\partial x ^{2}}$ , $v (0, t) = v (L, t) = 0$ , $v (x, 0) = - 80 \frac{x}{L}$ .
$b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} (- 80 \frac{x}{L}) sin \frac{nπ x}{L} d x = \frac{160 ( - 1 ) ^{n}}{nπ}$ , donc

$u (x, t) = 20 + 80 \frac{x}{L} + n \geq 1 \sum \frac{160 ( - 1 ) ^{n}}{nπ} sin \frac{nπ x}{L} e^{- κ (nπ / L)^{2} t} .$

Quand $t \to + \infty$ , $u \to w$ ; au milieu, la température limite est $w (L /2) = 60^{\circ}$ C.

Pour $L = 1$ , $κ = 1$ , $t = 0, 1$ : la somme numérique donne $u (\frac{1}{2}; 0, 1) \approx 41, 0^{\circ}$ C (à mi-chemin entre $20$ et $60$ ).