Corde frappée — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 9)

Corde frappée

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

Une corde de longueur $L$ , au repos en position d'équilibre, reçoit à l'instant $0$ un coup de marteau qui communique la vitesse $v_{0}$ aux points de $[\frac{L}{2} - δ, \frac{L}{2} + δ]$ , et une vitesse nulle ailleurs. Calculer les coefficients $B_{n}$ de la solution. Quels modes ne sont pas excités ? Comment varie l'amplitude des modes élevés, comparée à la corde pincée ?

Corrigé

Ici $u_{0} = 0$ , donc $A_{n} = 0$ , et

$B_{n} \frac{nπ c}{L} = \frac{2}{L} \int_{L /2 - δ}^{L /2 + δ} v_{0} sin \frac{nπ x}{L} d x = \frac{4 v _{0}}{nπ} sin \frac{nπ}{2} sin \frac{nπ δ}{L}, soit B_{n} = \frac{4 L v _{0}}{c n ^{2} π ^{2}} sin \frac{nπ}{2} sin \frac{nπ δ}{L} .$

Les modes pairs ( $sin \frac{nπ}{2} = 0$ ) ne sont pas excités, comme pour la corde pincée au milieu. Les amplitudes décroissent en $1/ n^{2}$ , comme pour la corde pincée ; mais si le marteau est étroit ( $δ$ petit), $sin \frac{nπ δ}{L} \approx \frac{nπ δ}{L}$ et $B_{n} \approx \frac{4 v _{0} δ}{c nπ} sin \frac{nπ}{2}$ ne décroît qu'en $1/ n$ tant que $n δ ≪ L$ : un coup sec excite davantage les aigus.